- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •2 Семестр
- •I. Учебная программа
- •2 Семестр
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •20.2. Движение частицы в поле консервативной силы
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
энергии для замкнутой системы материальных точек
В предыдущей главе мы познакомились с понятиями кинетической и потенциальной энергии для специального и относительно простого типа движения — движения одной материальной точки под действием заданной силы (движение в постоянном силовом поле). Теперь мы познакомимся с тем, как формулируется закон сохранения энергии для более сложного типа движения — движения многих взаимодействующих тел, образующих замкнутую систему.
Начнем с рассмотрения простейшей системы тел — системы, состоящей всего из двух материальных точек, а силу взаимодействия между ними будем полагать потенциальной и зависящей лишь от r = r1— r2. Эта оговорка весьма существенна. Например, сила взаимодействия между заряженными частицами, вообще говоря, непотенциальна и зависит от их скоростей, сила взаимодействия между двумя диполями, даже будучи потенциальной, зависит от ориентации частиц в пространстве и т. д. Запишем уравнения
движения рассматриваемых материальных точек в некоторой инерциальной системе координат:
где по-прежнему r1 и r2 — радиусы-векторы рассматриваемых материальных точек, v1,v2 — их скорости, m1 и m2 — их массы, a F12, F21 — силы, с которыми они действуют друг на друга. Мы предполагаем теперь, что наряду с силами F12 и F21 на тела действуют еще внешние, как говорят, сторонние, силы F1 и F2 (т. е., рассматриваемая система тел не является замкнутой).
Умножим обе части первого из уравнений (6.14) на бесконечно малое перемещение первого тела dr1, умножим обе части второго уравнения на dr2 и затем сложим левые и правые части полученных таким образом соотношений. С учетом того, что
получаем:
где dr = dr2 - dr1,
и, поскольку dr1/dt = v1, dr2/dt = v2, отсюда следует
(6.15)
Определим понятие потенциальной энергии взаимодействия:
потенциальной энергией взаимодействия и12(r) между материальными точками 1 и 2, находящимися на расстоянии r друг от друга, называется работа, совершаемая силой взаимодействия при удалении одной из них от другой с расстояния r в бесконечность, т. е.
u12(r) = AB3(r->oo). (6.16)
Определение конкретного выражения для u12(r) сводится, как мы видим, к вычислению Авз(r —> оо) для конкретной силы взаимодействия F21, и в следующем параграфе мы покажем в качестве примера, как находится потенциальная энергия гравитационного взаимодействия. Бесконечность в (6.16) принято вводить для определенности; разумеется, при вычислении сил либо работы на конечном участке пути потенциальная энергия, как и
в постоянном силовом поле (гл. 5), определена с точностью до константы.
Если силы взаимодействия между материальными точками являются потенциальными, то работа не зависит от пути. Это, в частности, справедливо для важного частного случая центральных сил:
F12 = F12 (r/r); r = r1 - r2. (6.17)
Здесь r /r — единичный вектор, так называемый орт направления. Закон взаимодействия (6.17) никогда не бывает справедлив в точности, но очень во многих случаях используется как достаточно хорошее приближение к реальности.
Подчеркнем одно отличие потенциальной энергии взаимодействия между двумя материальными точками u12 от потенциальной энергии одной материальной точки в постоянном силовом поле U(r), о которой шла речь в гл. 5. Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек зависит только от расстояния между ними r — если, конечно, не вступают в игру ориентационные координаты, скажем, направление дипольных моментов частиц (о чем мы будем говорить в следующем разделе курса). Чтобы подчеркнуть это различие, потенциальную энергию взаимодействия двух
материальных точек называют обычно просто энергией взаимодействия, и мы так и будем ее называть в дальнейшем.
Из соотношения (6.15) следует связь между работой и приращением кинетической энергии при бесконечно малых перемещениях:
dT = δAB3 + δABH. (6.18)
Здесь Т обозначает суммарную кинетическую энергию рассматриваемых материальных точек —
Т = m1v2(г1)/2 + m2v2(г2)/2,
δАВЗ = F21 dr
обозначает бесконечно малую работу силы F21, a
δABH = F1dr1+ F2 dr2
— бесконечно малую работу внешних сил.
Из определения энергии взаимодействия (6.16) получаем
du12 = u12(r + dr) – u12(r) = AB3(r + dr ->> oo) - AB3(r -> oo). (6.19)
Ввиду нашего предположения о потенциальности сил взаимодействия, ра-
работа их от пути не зависит. Поэтому работу Авз(r —> оо) при удалении тела
с расстояния r на бесконечность можно совершить, удалив сначала тело по
произвольным траекториям на расстояние r + dr, а затем удалив его из этого
положения на бесконечность, т. е.
Авз(r —>> оо) = Авз(r —>> r + dr) + AB3(r + dr —>> oo).
Подставляя полученный результат в (6.19), получаем
du12 = -Авз(r -> r + dr) = -δАВЗ, (6.20)
как следствие, соотношение (6.18) принимает вид
dT = - du12 + δАВH,
После перегруппировки слагаемых последнее равенство можно представить как
d(T + u12) = δABH. (6.21)
Если внешние силы отсутствуют, то и δАвн = 0. В этом случае из (6.21) следует, что для замкнутой системы где Е обозначает полную энергию замкнутой системы из двух
материальных точек. В этом случае из (6.21) следует, что полная энергия замкнутой
системы двух тел остается при их движении постоянной:
Е = (m1vl2/2) + (m2v22/2) + u12 = const. (6.22)
Следует отметить, что утверждение, выраженное формулой (6.22), имеет характер намного более общий, нежели наш вывод, представляющий по сути частный пример. Значение константы (инварианта, интеграла движения) в (6.22) может быть различным, и оно определяется значениями кинетической энергии и энергии взаимодействия в некоторый (например, начальный) момент времени.
Сформулируем теперь закон сохранения энергии для общего случая, когда замкнутая система состоит не из двух, а из произвольного числа N взаимодействующих материальных точек. Фомулировка является обобщениемформулы (6.22), а именно:
при движении N материальных точек в замкнутой системе сохраняется ее полная энергия, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек и всех попарных потенциальных энергий взаимодействия между ними:
(6.23)
где суммирование по индексам l и m проводится от 1 до N, и во второй сумме при этом содержатся только слагаемые с l> m, чтобы не учитывать дважды вклады от энергии взаимодействия каждой из пар материальных точек. Кроме того, для того чтобы сделать запись формулы более компактной, мы ввели обозначения: v(rl) = vl и u(|rl - rm|) =
= ulm. Так для замкнутой системы из трех материальных точек (например, тройная звезда) закон сохранения (6.16) запишется в виде (рис. 6.5):
Сколь ни естественно выглядит формула (6.23) в качестве обобщения закона (6.22), применимость ее ограничена важным дополнительным условием. Мы предположили, что имеет место принцип суперпозиции сил. В случае их потенциальности это означает аддитивность потенциальной энергии:
Нарушения этих условий не столь уж и редки (например, взаимодействие
нуклонов в ядре не есть сумма их попарных взаимодействий друг с другом). Но в классической механике, пока и поскольку мы не обращаемся к космическим масштабам либо нелинейным свойствам сплошной среды, закон сохранения энергии в форме (6.23) имеет достаточно широкую область применимости. Напомним, что мы показали на примере системы из двух материальных точек, что бесконечно малое изменение их полной энергии dE равно бесконечно малой работе внешних сил δАви. Обобщая это на случай произвольного числа материальных точек, мы имеем, следовательно,
равенство
dE = δAвн
Применительно к конечным изменениям энергии оно означает, что изменение полной энергии системы материальных точек равно работе внешних сил. При этом всю потенциальную энергию частиц, составляющих нашу систему, вместе с кинетической энергией в ц-системе, зачастую удобно интерпретировать как внутреннюю энергию, тем самым представляя систему частиц в качестве одного макроскопического тела.
С учетом теоремы Кенига (6.13) энергию Е системы N материальных точек в любой инерциальной системе координат можно записать в виде
где внутренняя энергия U равна
Так как vi — скорости относительно центра масс, то внутренняя энергия системы не зависит от скорости ее движения как целого и определяется только ее собственными, внутреннеми свойствами — внутренними степенями свободы. Мы рассмотрим данный вопрос на должном уровне в разделе, посвященном термодинамике.
Если система как целое покоится (Vc = 0), то Е = U — вся энергия системы равна ее внутренней энергии, соответственно, dU = δABH.
Закон сохранения импульса:
d( mV) = 0 ,
или
mV = 0
радиус вектор частицы можно представить в трехмерном случае в виде
r = xi + yj + zk
уравнения движения в проекциях на оси координат
m1 d2x / dtFx
m1 d2y / dtFy
m1 d2z / dtFz
вектор силы в трехмерном представлении
F = Fxi + Fyj + Fzk
При задании начальных условий задача описания движения становится корректной и позволяет однозначно определить положение(координаты) и скорости(импульс) для частицы или системы частиц
t = 0, x = 0 …
t = 0, v = v 0i …
исходя из уравнения Ньютона (второй закон) можно получить выражение для работы, совершаемой в системе по перемещению материальных тел
m1 d2x / dtF m dv/dtF
Домножая последнее выражение на скорость, получим
mvdv/dtvF
Внося скорость под знак дифференциала, имеем
d(mv2/ 2 ) / dt = vF = Fdx / dt
Что эквивалентно выражению
d (mv2/ 2 ) = Fdx – работа
Если F = 0, то
d (mv2/ 2 ) = 0,
то есть кинетическая энергия сохраняется.
Работа
Fdx (изменение )
Учитывая, что сила и перемещение вектора, произведение векторов скалярное, для модуля можно записать
Fdx = Fdx cos
Закон сохранения энергии:
Для консервативных сил(потенциальных) выражение для силы имеет вид
Или
тогда
Домножая на скорость, получим
Внося скорость под знак дифференциала имеем
Преобразуем правую часть уравнения с учетом перемены порядка дифференцирования
Объединяя производные
Или
-закон сохранения энергии, где
E - полная энергия;
mV 2 / 2 - кинетическая энергия;
U - потенциальная энергия.
-условие постоянства дифференцируемой функции-полной энергии
Построим график зависимости потенциальной энергии U((x) от x и отметим на рисунке уровень с энергией E
U
x
x1 , x2 , x4
Рис. 20.1. Потенциальная энергия частицы и действующая на нее консервативная сила
Пусть U = E в т. x1 , x2 , x4 , при этом V = 0,
x1 , x2 , x4 - точки остановки.
при -
при - барьер, в этой области находятся недопустимые значения.
при - область периодических колебаний; частицы в этой области стремятся занять минимальное значение энергии, то есть достичь т.x3, или
- потенциальная яма.
точка равновесия x = xp
F>0
F<0
F=0
Рис. 5.11
1. Если при малом нарушении равновесия возникает отклик в виде возвращающей силы, материальная точка не может уйти из точки равновесия x0 слишком далеко (рис. 5.11 а). Само воздействие может заключаться либо в перемещении точечной массы в некоторую точку х ≠ x0, либо в придании ей некоторой начальной скорости. Она, однако, останется в некоторой окрестности точки х0, если выполнено условие
dU/dx > 0 при х > 0; dU/dx < 0 при х < 0,
Иными словами, устойчивому равновесию отвечает минимум потенциальной энергии, что в одномерной задаче эквивалентно условиям: