21. Находим искомые уравнения прямых. Используя общее реше­ние системы а), получим 10Bx + By — 70B = 0. Так как B = 0, уравнение принимает вид 10x + y — 70 = 0.

22. С помощью общего решения системы б) записываем уравне­ние второй прямой: —4Bx + By + 14B = 0, или 4x — y — 14 = 0.

23. Эту задачу можно решить другим способом, если заметить, что одна из прямых проходит через точку P параллельно пря­мой M1M2, а вторая проходит через точку P и середину Mo отрезка M1M2. При этом необходимо дважды применить пра­вило 3.

24. Ответ: 4x — y — 14 = 0, 10x + y — 70 = 0.

25. 10.12. В треугольнике ABC из вершины A проведены вы­сота и медиана (рис. 10.4). Даны: вершина B(3;7), уравнение высоты 2x — y + 1 = 0 и уравнение медианы 3x — 4y + 9 = 0. Найдите координаты вершины C.

    21. 

26. Решение. Обозначим через xo, yo координаты точки C. Запишем уравнение прямой BC. Она перпен- дикулярна высоте, поэтому в каче- стве вектора нормали можно взять любой вектор, перпендикулярный А С

27. к вектору (2; —1), например N(1;2). р_ис 104

28. Уравнение BC по правилу 2 мож­но записать в виде x + 2y — (1 • 3 + 2 • 7) = 0, x + 2y — 17 = 0. Точка C лежит на прямой BC, поэтому xo + 2yo — 17 = 0.

29. Точка M - середина отрезка BC. Находим её координаты:

30. ^xo ^{+ 3 y}o ^{+ 7} _{. Поскольку точка лежит на медиане}

31. Ml —2—, —2— ) . Поскольку точка M лежит на медиане

32. ₃ ^xo ^{+ 3} ₄ ^yo ^{+ 7} _{+ 9 = 0 3 4 1 = 0}

33. 3 • —2 4 • —2 + 9 = 0 или 3x_o — 4y_o — 1 = 0.

34. Для отыскания x_o и y_o из полученных уравнений составим систему

35. Г xo + 2yo — 17 = 0, \ 3xo — 4yo — 1 = 0. Решая систему, находим xo = 7, yo = 5.

36. Ответ: C(7; 5).

37. Задачи для самостоятельного решения

13. Определите, какие из точек Mi(1;4), M2(3; —4), M₃(5; —1), M₄(8; 1) лежат на прямой 3x — 2y — 17 = 0.

21. Ответ: точки M2 и M3 лежат на данной прямой.

14. Укажите координаты точек пересечения прямой 3x — 4y + 12 = 0 с осями координат.

21. Ответ: (—4; 0), (0; 3).

15. Дана прямая 4x + 3y + 5 = 0. Составьте общее урав­нение прямой, проходящей через точку Mo(2; 1):

21. а) параллельно данной прямой;

22. б) перпендикулярно данной прямой.

23. Ответ: а) 4x + 3y — 11 = 0; б) 3x — 4y — 2 = 0.

16. Найдите проекцию точки P(6; 4) на прямую

21. 4x + 5y — 3 = 0.

22. Ответ: (2; —1).

17. Найдите точку Q, симметричную точке P(—5; 13) от­носительно прямой 2x — 3y — 3 = 0.

21. Ответ: (11; —11).

18. Составьте уравнение средней линии треугольника A(5; —4), B(—1; 3), C(—3; —2), параллельной стороне AC.

21. Ответ: x + 4y = 0.

19. Даны вершины треугольника A(2; 1), B( —1; — 1), C(3;2). Составьте уравнение его высоты CH и уравнения всех его сторон.

21. Ответ: 3x + 2y — 13 = 0, 2x — 3y — 1 = 0, 3x — 4y — 1 = 0, x — y — 1 = 0.

20. Запишите уравнение биссектрисы внутреннего угла

21. A треугольника ABC, если A(1; —2), B(5; 4), C(—2; 0).

22. Ответ: 5x + y — 3 = 0.

21. Найдите площадь квадрата, две стороны которого расположены на прямых 2x — 3y — 6 = 0 и 2x — 3y + 7 = 0.

21. Ответ: 13.

22. Даны вершины треугольника A(—10; —13), B(—2; 3), C(2; 1). Вычислите длину перпендикуляра, опущенного из вер­шины B на медиану CM.

21. Ответ: 4.

23. Выясните, пересекаются ли в одной точке прямые

21. 3x — y + 3 = 0, 5x + 3y — 7 = 0, x — 2y — 4 = 0.

22. Ответ: нет.

24. Определите, при каком значении величины а три прямые 2x — y + 3 = 0, x + y + 3 = 0, ax + y — 13 = 0 будут пересекаться в одной точке.

21. Ответ: а = —7.

25. Составьте уравнение сторон треугольника ABC, ес­ли даны одна из его вершин A(1; 3) и уравнения двух медиан x — 2y + 1 = 0 и y — 1 = 0.

21. Ответ: x + 2y — 7 = 0, x — 4y — 1 = 0, x — y + 2 = 0.

26. Составьте уравнения сторон треугольника ABC, ес­ли даны одна из его вершин B(—4; —5) и уравнения двух высот 5x + 3y — 4 = 0 и 3x + 8y + 13 = 0.

21. Ответ: 8x — 3y + 17 = 0, 3x — 5y — 13 = 0, 5x + 2y — 1 = 0.

27. Составьте уравнения сторон треугольника ABC, зная одну из его вершин A(4; —1) и уравнения двух биссектрис x — 1 = 0 и x — y — 1 = 0.

21. Ответ: 2x — y + 3 = 0, 2x + y — 7 = 0, x — 2y — 6 = 0.

22. 10.28 Определите угол образованный прямыми: а) 3x — y + 5 = 0 и 2x + y — 7 = 0;

21. 0.

21. б) x^3 + y^2

22. Ответ:

21. 2 = 0 и xV6 — 3y + 3 90°.

22. а) <p = 45°, б) <p

23. 10.29. Пусть линейный оператор A : R2 — R2 является:

24. а) оператором проектирования на прямую y = 2x;

25. б) оператором зеркального отражения от прямой y = 2x. Найдите матрицы этих линейных операторов в базисе {i, j}. Укажите собственные числа и собственные векторы этих опе- раторов.

22. б)

23. 3 4 ^— 5 5

4. 3

5. 5

22. 1; —1, а(1; 2), а(2; —1); а - любое число.

22. 11. Плоскость

23. Для решения задач по данной теме необходимо изучить подраздел 2.4 пособия [5], а также повторить скалярное, век­торное и смешанное произведение векторов.

24. Положение плоскости в пространстве однозначно определя­ется заданием вектора N = (A, B,C), перпендикулярного плос­кости и называемого вектором нормали, и какой-нибудь точки Mo(xo,yo, zo), лежащей на плоскости. В этом случае уравнение плоскости можно записать в виде Ax + By + Cz + D = 0. Так как плоскость проходит через точку M_o, то её координаты удо­влетворяют этому уравнению, т.е. Ax_o + By_o + Cz_o + D = 0, следовательно, D = — (Axo + Byo + Czo). Как видим, чтобы за­писать уравнение плоскости, нужно найти её вектор нормали N и точку Mo, лежащую на плоскости. Если найдены какие-нибудь два вектора li и I2, параллельные плоскости, то, оче­видно, N = [li, I2]. Это замечание очень часто используется при решении задач. Отметим, что перпендикулярно данной плоско­сти через точку Mo(xo,yo, Zq) можно провести бесконечно мно­го плоскостей. Все они параллельны вектору нормали данной плоскости.

25. Если плоскость проходит через точку Mq(xo,yo,Zo) с

26. радиусом-вектором ro параллельно векторам li = (mi,ni,pi)

27. и I2 = (m2,n2,P2), то в векторной форме уравнение плоскости можно записать в виде (r — ro, li, I2) = 0, или

22. Pi

23. P2

24. 0.

1. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точ­ку Mo(1; — 2; 3) перпендикулярно вектору N(4; —3; 2).

21. Решение. Так как в данном случае вектор N(4; —3; 2) - нор­маль плоскости, в её общем уравнении Ax + By + Cz + D = 0 можно положить А = 4; B = —3; C = 2, т.е.

22. 4x — 3y + 2z + D = 0. Поскольку точка Mo(1; —2; 3) лежит в плоскости, то

23. 4 • 1 — 3 • (—2)+ 2 • 3 + D = 0, 4 + 6 + 6 + D = 0, D = —16. Мы нашли уравнение плоскости: 4х — 3y + 2z — 16 = 0.

24. Ответ: 4х — 3y + 2z — 16 = 0.

2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точ­ку Mo(1; —2; 1) параллельно векторам li = (0; 1; 4) и I2 = (2; 0; 3).

21. Решение.

22. Первый способ. Записываем уравнение плоскости по двум направляющим векторам li, I2 и точке Mq:

21. х — 1 y + 2 z — 1

22. 014 203

24. 0.

21. Разложим этот определитель по первой строке:

21. (x—1

22. 14 03

23. (у + 2)

24. 04 23

25. + (z — 1

26. 01 20

21. = 3(x — 1) + 8(y + 2) — 2(z — 1) = 3x + 8y — 2z + 15 = 0.

22. Второй способ. Вектор нормали N искомой плоскости на­ходим из условия

21. N = [li, I2]

22. 0 1 4 203

23. (3i + 8j — 2k) ||(3; 8; —2).

21. Таким образом, искомые координаты вектора нормали плоско­сти (3; 8; —2). Записываем общее уравнение плоскости в виде 3x + 8y — 2z + D = 0. Так как плоскость проходит через точку M_o(1; —2; 1), то 3 • 1 + 8 • (—2) — 2 • 1 + D = 0. Отсюда D = 15 и искомое уравнение плоскости 3x + 8y — z + 15 = 0.

22. Ответ: 3x + 8y — z + 15 = 0.

23. 11.3. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три точки: Mi(1; 2; —1), M2(3; 1; —2), M3(4; 5; —3).

24. Решение. Если плоскость проходит через три точки, можно найти два направляющих вектора плоскости, например, li = M1M2 = (2; — 1; — 1) и I2 = M1M3 = (3;3; —2). Запи­сываем уравнение плоскости по двум направляющим векторам

25. MiM2, MiM3 и точке Mi:

21. x — 1 y — 2 z + 1

2. —1 —1

3. 3 2

22. 0.

21. Разложим этот определитель по первой строке:

21. (x—1

22. (У — 2)

23. +(z+1)

21. = 5(x — 1) + (y — 2) + 9(z + 1) = 5x + y + 9z + 2 = 0. Ответ: 5x + y + 9z + 2 = 0.

4. Найдите координаты вектора нормали плоскости, про­ходящей через перпендикуляр к плоскости 4х — 3y + 2z — 3 = 0, опущенный из точки P(1; —5; 3), и точку Mo(2; 7; —4).

21. Решение. Искомая плоскость параллельна вектору нормали данной плоскости, то есть li = (4; —3; 2) и вектору l2 = PMo = = (1; 12; —7), поэтому вектор нормали N искомой плоскости находится из условия

22. i J k

    21. (—3i + 30j + 51k)||(1; —10; —17).

23. N = [li, l2]= 4 —3 2 1 12 —7

24. Таким образом, искомые координаты вектора нормали плоско­сти (1; —10; —17).

25. Ответ: (1; —10; —17).

5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точ­ки Mi(2; —3; 5) и М2(4; 1; —1) параллельно оси OY.

21. Решение. Данная плоскость параллельна вектору MiM2 = = (2; 4; —6), а также оси OY, а значит и орту j = (0; 1; 0). Запи­сываем уравнение плоскости по двум направляющим векторам MiM2, j и точке Mi:

22. х — 2 y + 3 z — 5 2 4 —6 =0. 0 1 0 Разложим определитель по третьей строке:

23. (—1)³+²(—6(х — 2) — 2(z — 5)) = 6х + 2z — 22 = 0. Делим обе части уравнения на 2. Искомое уравнение имеет вид 3х + z — 11 = 0.

24. Ответ: 3х + z — 11 = 0.

6. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точ­ку Мо(1; 4; 3) перпендикулярно плоскостям 2х — 3y + 4z — 1 = 0 и х + 4y — z + 5 = 0.

21. Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна к данным плоскостям, то она параллельна их нормальным век­торам li = N1 = (2; —3; 4) и l2 = N2 = (1; 4; —1). Поэтому урав­нение плоскости м_' ожно записать в виде_' x — 1 y — 4 z — 3

22. 2 —3 4 ^'_' = 0. 1 4 —1 ^'

23. Разложим определитель по первой строке:

24. —13(x — 1) — (—6)(y — 4) + 11(z — 3) = 0, или —13x + 6y + 11z — 44 = 0. Делим обе части уравнения на (—1): 13x — 6y — 11z + 44 = 0.

25. Ответ: 13x — 6y — 11z + 44 = 0.

7. Запишите уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и точку M₁ (2; —5; 6).

21. Решение. Поскольку плоскость проходит через ось OZ, все точки оси OZ принадлежат плоскости, в частности точка O(0; 0; 0) - начало координат. В качестве одного направляюще­го вектора можно взять вектор OMi = (2; —5; 6). Кроме того, плоскость параллельна оси OZ, т.е. вектору k = (0; 0; 1). Запи­сываем уравнение плоскости по двум направляющим векторам OM_i, k и точке O: _{' '}

22. x y z ^'_'

23. 2 —5 6 ^'_' = 0.

24. 0 0 1

25. Разложим определитель по третьей строке: —5x — 2y = 0, или

26. 5x + 2y = 0.

27. Ответ: 5x + 2y = 0.

8. Найдите расстояние d от точки P(1; 4; 5) до плоскости

8. x

9. 2y — 2z + 3 = 0.