2. Вычисление определителей

Необходимо изучить пп. 1.2.1 - 1.2.6 из [5]. Особенно хорошо нужно усвоить понятия алгебраического дополнения и минора, теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца, а также свойства определителя.

2.1. Вычислите определители

а) D

б)

12 24 31

Решение.

а) Для того, чтобы вычислить определитель второго поряд- ка, от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной диагонали:

D = 2 • 5 - 4 • (-3) = 10 + 12 = 22.

б) Для вычисления определителя применим правило "тре- угольников" [5. с. 15].

C = 1 • 2 • 1 + • 4 • 2 + 3 • 3 • 2 - 2 • 2 • 2 - 3 • (-1) • 1 - 3 • 4 • 1 = = 2 - 8 + 18 - 8 + 3 - 12 = -5.

Ответ: D = 22, C = -5.

2.2. Дан определитель D

нор М| и алгебраическое дополнение A₂ элемента a2.

Решение. Минор M2³ получим из определителя D, вычерки­вая третью строку и второй столбец, на пересечении которых расположен элемент a₂.

2 -4 3

M2³ =

4 + 0 + 6 - 0 - (-4) - 20 = -6.

1 2 5 0 2 1

Алгебраическое дополнение A^j связано с минором M^j фор­мулой A^j = (- M ■ . Поэтому

21 13

55 34

a2 =

6.

(-1)³+²m₂³ = (-1)⁵ • (-6)

Ответ: M³

^{-6, A3}2

2.3. Вычислите определитель D

6.

-3 5 2 4

Пользуясь теоремой 2 [5, с. 18], вычисление определителя можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка. Число этих определителей можно снизить до одно­го, получив, пользуясь свойствами определителя, в каких-либо строке или столбце три нулевых элемента. Получим нули в пер­вом столбце. Для этого прибавим к элементам первой строки определителя соответствующие элементы второй строки, умно­женные на (—2). Для того, чтобы кратко описать эту опера­цию говорят: "К первой строке определителя прибавим вторую строку, умноженную на (—2)".

' 2+ (—2) • 1 1 + 2) • 3 — 3 + (—2) • 5 — 2 + (—2) • (—2)

13 5 —2

5 5 2 4

3 4 4 5

В результате получим

D

0

13 2 5 —2 24 45

Затем первую строку, умноженную на (— тьей и первую строку, умноженную на ( вертой. В итоге

5), прибавим к тре-3), прибавим к чет-

D

—5 3

-10

5

—13 5

—23 11

2 —2 14 11

Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

D

1 • (—1)²⁺¹

2

—5 —13 10 —23 14 5 11 11

2

—5 —13 10 —23 14 5 11 11

Полученный определитель третьего порядка можно вычис­лить по правилу треугольников. Другой способ - свести его

10 9

вычисление к вычислению определителя второго порядка. Для этого получим нули в первом столбце. Умножим первую стро­ку на (—2) и прибавим к второй, затем первую строку вычтем из третьей.

5-(—•

D

10 9

-5 -13 2

5(27—20) = 35.

Ответ: D = 35.

Решая эту задачу, мы применяли свойство определителя: определитель не изменится, если к какой-либо его строке при­бавить другую, умноженную на некоторое число. Иногда до­пускают ошибку, прибавляя к какой-либо строке, умноженной на некоторое число а, другую строку. В результате определи­тель изменится и станет равным aD. Обратите на это внимание и не допускайте подобной ошибки.