21. 21. _{

    Полученная матрица соответствует системе

22. xi + x3 + x5 = 0, x₂ — x₄ — x₅ = 0.

23. Выражаем зависимые неизвестные через свободные:

24. _{xi = — x3 — x5 ,}

25. < ' - общее решение системы.

26. x2 = x4 + x5,

27. Фундаментальная система решений содержит 5—2 = 3 решения (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем три частных линейно независимых решения, придавая поочередно свободным неизвестным значения (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1):

28. при x = 1, x4 = 0, x5 = 0 xi = —1 и x2 = 0;

29. при x₃ = 0, x₄ = 1, x₅ = 0 xi = 0 и x₂ = 1; при x₃ = 0, x₄ = 0, x₅ = 1 x₁ = —1 и x₂ = 1.

30. Решения (—1; 0; 1; 0; 0), (0;1;0;1;0), (—1;1;0;0;1) образуют фундаментальную систему решений. Любое другое решение яв­ляется их линейной комбинацией.

31. Ответ:

32. { ^xi = ^—XJ ^— (—1;0;1;0;0), (0;1;0;1;0), (—1; 1; 0; 0; 1).

34. Задачи для самостоятельного решения

3. Докажите, что существует единственное значение па­раметра p, при котором данная система совместна, и найдите его. Охарактеризуйте систему при найденном значении p.

21. x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 14, x₁ — 4x₂ — 3x₃ = 8, 2x₁ + 3x₂ + 5x₃ = p.

22. Ответ: p = 27; система неопределённая.

4. Дана система линейных уравнений

21. Г x1 + x2 + 2x3 = 1,

22. \ x1 + 2x2 + 4x3 = 5. Докажите, что в этой системе только одно свободное неизвест­ное. Найдите общее решение системы, принимая в качестве сво­бодного неизвестного x₃.

23. Ответ: ^{x1 = —3,}

24. x2 = 4 — 2x3.

5. Дана система линейных уравнений

21. x1 — 2x2 + 3x3 — x4 = 2, 4x1 + px2 + 4x3 — 5x4 = 1. Найдите то значение параметра p, при котором неизвестные x₁ и x₂ одновременно не могут быть зависимыми. Докажите, что неизвестные x₃ и x₄ могут быть выбраны в качестве зависимых.

22. Ответ: p = —8

6. Докажите, что существует единственная пара значе­ний параметров p и q, при которых данная система имеет два свободных неизвестных. Найдите эти значения p и q.

21. x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 5x₄ = 10,

22. x\ — x₂ + x₃ — x₄ = —2,

23. 2x\ + 3x₂ + 7x₃ + 8x₄ = p,

24. 3xi + 4x₂ + 10x₃ + 11x₄ = q.

26. Ответ: p =16, q = 22.

7. Дана система линейных уравнений

21. x₁ + x₂ + x₃ — 2x₄ = 1,

22. 2x₁ + 2x₂ — 5x₃ + 3x₄ = 2,

23. 3x₁ + 4x₂ — 2x₃ — 3x₄ = 2,

24. 2x₁ + 3x₂ — 3x₃ — x₄ = 1.

25. Докажите, что система совместна, не определённа. Найдите её общее решение и частное решение при x4 = 1.

26. {x₁ = 2 — x₄, x₂ = —1 + 2x₄, (1; 1; 1; 1). x3 = x4,

8. Дана система линейных уравнений

21. 4x1 + 2x2 — x3 + 3x4 = 0,

22. 7x₁ + 4x₂ + x₃ + 2x₄ — x₅ = 0,

23. 2x₁ — 6x₂ + 8x₄ + 2x₅ = —12,

24. 2x₁ + x₂ + x₃ + 3x₅ = 3.

25. Докажите, что система совместна, не определённа. Найдите её общее решение и частное решение при x₁ = 3.

26. {x₂ = 5 — 5x₁, Z = w+Sm)/3. ^{(3;—10;8;16/3;}-m x₅ = (5 — 2x1)/3,

27. 7.9. Дана система линейных уравнений

28. —2x₁ — x₃ + x₄ = —2,

29. 3x₁ + x₂ — 2хз + x₄ = 5,

30. 5xi + 3x₂ — 8x₃ + 5x₄ = 11,

31. —4x₁ + 2x₂ — 9x₃ + 7x₄ = 0.

32. Докажите, что система совместна, не определённа. Найдите её общее решение и частное решение при x3 = 5, x4 = 7.

33. Ответ: { ^x = ^{(2 — x3} + ₂ (2; 2; 5; 7).

34. \ x₂ = (4 + 7x3 — 5x4)12, ^v ' ' ' ^;

10. Докажите, что существует единственное значение па­раметра p, при котором данная система имеет нетривиальные решения, и найдите его.

21. x₁ — 2x₂ — 6x₃ = 0,

22. 2xi + 4x2 + 4x3 = 0, 3x₁ — x₂ + px₃ = 0.

24. Ответ: p = —8

11. Докажите, что существует единственная пара чисел p и q таких, что данная система уравнений имеет фундамен­тальную систему из двух решений. Найдите эти числа p и q.

21. x1 + 3x2 — x3 + 5x4 = 0,

22. 3x1 — x2 — x3 + x4 = 0,

23. 2x1 + x2 — x3 + 3x4 = 0,

24. 14x₁ — 3x₂ + px₃ + qx₄ = 0.

26. Ответ: p = —5, q = 7.

12. Дана система линейных однородных уравнений