787. ^y2²

     +

     ^z2^.

788. 5л/2 2уД

789. Мы получили каноническое уравнение эллиптического парабо­лоида.

790. 50. x2 ^y2 ^z2

     Новые координаты x₂, y₂, z₂ выражаются через старые в виде

791. x + y - 2z + 3

792. V6

793. x + y + z x - У

794. ^—2 ^.

795. Координаты вершины этого параболоида можно найти, решая систему

796. x2 = x + y 2z + 3 = 0,

797. ^y2 ^{= x + y + z = 0, z}2 ^{= x y = 0,}

799. Получаем точку ^ — ^ — ^; 1^ . Таким образом, данная поверх­ность является эллиптическим параболоидом с вершиной в точ-

800. 11

801. ^{ке ^—2; — 2;1J и осью симметрии, параллельной вектору}

802. l = (1; —1;0), что позволяет легко представить расположение этого параболоида.

803. Замечание 1. Если среди собственных чисел Л₁ , Л₂, Л₃ име­ются два равных, то получим поверхность вращения. Фунда­ментальная система для отыскания собственных векторов, со­ответствующих этому числу, будет состоять из двух решений. Эти решения нужно выбрать так, чтобы они определяли пару единичных ортогональных векторов.

804. Замечание 2. По распределению знаков собственных чисел А1, А2, A3 можно сделать предположение о характере поверхно­сти. Если одно из этих чисел равно нулю, то поверхность либо параболоид (эллиптический или гиперболический), либо явля­ется цилиндром (эллиптическим или гиперболическим), либо распадается на пару пересекающихся плоскостей, либо вырож­дается в точку. Мы не останавливаемся на полной классифика­ции поверхностей. Вид поверхности определяется однозначно после приведения её уравнения к каноническому виду.

806. Задачи для самостоятельного решения

3. Определите, какие поверхности задают в декартовой системе координат следующие уравнения. Изобразите эти по­верхности.

807. а) 5x² — 3y² — 10 = 0;

808. б) 2x² — 8y² + z² = 0;

809. в) x² y² + 2z² = 1;

810. г) x² + 2y² + 4z² = 1;

811. д) 2x² 3z² = 4y;

812. е) y² + 2z² = x;

813. ж) x² 4z = 0;

814. з) x² 2y² 3z² = 4.

4. Докажите, что через каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходит две прямые линии, целиком лежащие на поверхности.

815. _x² _y² _z²

816. 16.5. Дан эллипсоид 1 1 = 1. Найдите: а) коорди-

817. 25 16 9

818. наты его вершин; б) длины его осей; в) сечения его плоскостями симметрии (главные сечения).

819. 16.6. Охарактеризуйте линии пересечения гиперболоида

820. _x² _y² _z²

821. 1 = 1 плоскостями z = 2; z = 3; x = 1; x = 2;

822. 491

823. У = 0; y = 4.

824. 16.7. Охарактеризуйте сечения гиперболического парабо-

825. _x² _y²

826. лоида = z плоскостями z = 0; z = 1; x = 0; x = 2;

827. 4 9

828. y = 1; у = 3.

8. Определить поверхность, которую описывает прямая, скользящая по трём прямым:

829. x y — 1 z x — 2 y z x y + 1 z 2 = 0 = —1^, 0 =1 = 1^, 2 = 0 = 1^, из которых никакие две не лежат в одной плоскости.

830. _x2

831. Ответ: однополостной гиперболоид — + y² — z² = 1.

9. Составить уравнение поверхности, образованной пря­мой, которая скользит по прямым

832. x — 6 y z — 1 x y — 8 z + 4 3 = 2 = 1 ^, 3=2= —1 ^, оставаясь всё время параллельной плоскости 2x + 3y 5 = 0.

833. _x² _y²

834. Ответ: = z - гиперболический параболоид.

835. 36 16

836. 16.10. Привести к каноническому виду уравнения следую- щих поверхностей:

837. а) x² — 2y² + z² + 4xy — 8zx — 4yz — 14x — 4y + 14z + 16 = 0;

838. б) x² + y² + 5z² 6xy + 2zx 2yz 4x + 8y 12z + 14 = 0;

839. в) 4x² + 5y² + 6z² — 4xy + 4yz + 4x + 6y + 4z — 27 = 0;

840. г) 2x² + 5y² + 2z² 2xy 4xz + 2yz + 2x 10y 2z 1 = 0;

841. д) 2x² + 10y² — 2z² + 12xy + 8yz + 12x + 4y + 8z — 1 = 0. Охарактеризуйте все эти поверхности и укажите их располо- жение относительно декартовой системы координат OXYZ.

842. Ответы:

843. а) x² + y² 2z² = 0;

844. б) 3x² + 6y² 2z² + 6 = 0;

845. в) 2x² + 5y² + 8z² 32 = 0;

846. г) x² + 2y² 2 = 0;

847. ^{д) 7x2 — 2y2 — 7}f₄=^0.

848. 17. Полярная система координат

849. Рекомендуется изучить подраздел 2.2 в пособии [5].

850. Системой координат на плоскости или в пространстве назы­вают некоторое множество геометрических фигур, с помощью которых можно определить положение любой точки на плос­кости или в пространстве. Мы уже определили аффинную и декартову системы координат на плоскости и в пространстве. Применяются и другие системы координат. С одной из них мы и познакомимся в этом разделе.

     51. 

851. Напомним, что числовой осью называют прямую с заданными W на ней двумя точками: O - нача-

852. ло отсчёта и E - единичная точ- ОМ| ка. Вектор OE определяет поло-

853. жительное направление оси, а х |OE| - единицу масштаба, пола- гая |OE| = 1. Полярная система Рис 17 1 координат на плоскости состоит

854. из одной числовой оси 1, называ­емой полярной осью. Точку O оси называют полюсом. Поло­жение любой точки M на плоскости однозначно определяется двумя числами: r = |OM| и р, где р - угол между вектора­ми OE и OM, отсчитанный по правилам тригонометрии от вектора OE до вектора OM. Угол отсчитывают либо против часовой стрелки и тогда считают р > 0, либо по часовой стрел­ке, и тогда считают р < 0. Числа (r, р) называют полярными координатами точки M. Величина r определяется однозначно, причём 0 < r < оо, r = 0 только для полюса O. Угол же р опре­деляется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2-7Г. Чтобы избежать этой неоднозначности, договорились счи­тать либо 0 < р < 2-7Г, либо -ж < р < ж, называя это значение угла главным.

855. Поместим начало декартовой системы координат в полюс O, а ось OX направим по полярной оси. Тогда декартовы ко-

856. 52. (17.1)

     ординаты точки M x и y выражаются по формулам

857. x = r cos р, y = r sin р.

858. Формулы перехода от декартовой системы координат к по­лярной:

859. r

860. Если 0 < р < 2п, то

861. y

862. arctg —, x

863. п + arctg 2п + arctg

864. р=

865. п 2'

866. 3п

868. Если же п < р < п, то

869. ^y

870. arctg —, x

871. п + arctg

878. ^y

879. x

880. д/x² + y².

881. если x > 0, y > 0; если x < 0;

882. если x > 0, y < 0;

883. если x = 0, y > 0;

884. если x = 0, y < 0.

888. если x > 0;

890. если x < 0, y > 0;

891. (17.2)

898. (17.3)

900. р=

901. —п + arctg —, если x < 0, y < 0; x

902. (17.4)

903. п 2 ^,

904. п

905. "2^,

906. если x = 0, y > 0; если x = 0, y < 0.

907. Во всех задачах, в которых фигурируют одновременно по­лярная и декартова системы координат, будем считать, что ось OX совпадает с полярной осью, а точка O - с полюсом.

908. Формулы (17.1) позволяют однозначно найти декартовы ко­ординаты точки по её полярным координатам, а формулы (17.2)

909. и (17.3), либо (17.2) и (17.4) позволяют однозначно найти по­лярные координаты точки, зная декартовы координаты. После этого нетрудно записать все остальные пары чисел, которые соответствуют этой же точке, если это потребуется.

910. Координатная сетка для полярных координат, состо­ящая из окружностей

911. r = c_i, (c_i = const) и лучей

912. p = C2, (C2 = Const),

913. для случая 0 < p < 2n изображена на рис. 17.2. Полярную сетку удобно ис­пользовать для построения точек и кривых в поляр­ной системе координат, как и миллиметровку для де­картовой системы.

914. Расстояние между двумя точками A(r\, pi) и B(r2, Р2) мож­но вычислить по формуле

915. d

916. |AB|

917. _{\Jrl + r22}

918. 2Г1Г2 COs(p2 - Pi).

919. (17.5)

920. Замечание. Часто рассматривают обобщённую полярную систему координат, в которой допускается r < 0. В обобщённой полярной системе координат любой паре чисел (r, p) сопостав­ляется точка M следующим образом. Угол p представляют в виде p = po +2-7ГП, где величина po расположена либо в [0, 2п), либо в (—7Г,7г]. Слагаемое 2пп отбрасывают и строят луч OS, наклонённый к полярной оси под углом p_o, откладывая угол po против часовой стрелки, если po > 0 и по часовой стрелки, если po < 0. Если r > 0, то на луче OS ставят точку M так, чтобы |OM| = r, если же r < 0, то точку M располагают на луче, противоположном OS, при этом |OM| = r.

921. 17.1. Даны точки, декартовы координаты которых име­ют следующие значения: Mi(1; л/3), M2 — 1; л/3), Мз( —1; — \/3), М4(1; — \/3). Найдите их полярные координаты. Постройте эти точки в полярной системе координат.

922. Решение. Воспользуемся формулами (17.1), (17.2) и (17.3), полагая 0 < р < 2п. Для всех четырёх точек находим

923. r = \J1² + (V3)² = 2. Для точки Mi имеем x = 1 > 0, y = \/3 > 0, поэтому

924. ^р1

925. л/3 п arctg — = 3,

926. 

     следовательно,

     2;

     М₂(2,2л/3)

     Для точки M2 имеем x = 1 < 0, поэтому

927. л/3 /- п 2п

928. р2 = п + arctg —1 = п — arctg V3 = п — 3 = 7-,

929. 1 3 3

930. _(2;|)

     т.е. в полярных координатах M2 2;

931. Для точки M3 также x = —1 < 0, следовательно,

932. -у/3 к п 4п

933. p3 = п + arctg —— = п + arctg V3 = п + — = —,

934. 1 3 3

935. т.е. M3 (2; у) .

936. Для точки M4 имеем x = 1 > 0, y = —л/3 < 0, поэтому

937. p₄ = 2п + arctg = 2п — arctg л/3 = 2п = —,

938. 1 3 3

939. ^{то есть *(2;f).Все точки Mi,M2 M„,M лежат на}

940. окружности с центром в точке O радиуса 2 (рис. 17.3).

941. Ответ: Mi (2; 3), M2 (2; ^ , M3 (2; ^4п) , M4 (2; ^

942. 17.2. В полярной системе координат даны точки Mi 4; —

943. V 6

944. 2

945. M2 у 4; 3п j . Найдите декартовы координаты этих точек.

946. Решение. Применяем формулы (17.1). Для точки Mi нахо­дим

947. x_i = 4 cos - = 4 • — = 2\Д, y_i = 4 si^ — = 4 — = 2.

948. Таким образом, (2\/3; 3) - декартовы координаты точки Mi. Аналогично, для точки M2 получаем

949. ^{Х2 = 4cos^ = 4 0 = —2, y2 = =4 • ^3 = 2/3.}

950. Поэтому M₂ = (—2;2\/3).

951. Ответ: Mi(2^3; 3), M2 = (—2;2^//3).

952. 17.3. Вычислите расстояние между двумя точками, задан­ными полярными координатами: а) A ^2; и B (1; —^ ;

953. 12/ V ' 12

954. _{б) C (4; f)и»{6;6Г)}

955. Решение. а) по формуле (17.5), в которой надо положить

956. п 5п

957. ri =2, Г2 = 1, <fi = —, ^2 = —, получаем

959. |АВ|= i = ^² + ¹² " ^{22 1} ■ Щ - =

961. = ^5 - 4 cos ₃ = ^5 - 4 ■ ¹ = ч/3;

962. б) действуем аналогично а)

963. |CD| = d = ^6² + 4² - 2 ■ 6 ■ 4 ■ cos - 5^ =

964. V52 - 48 cos п = V52 + 48 = л/100 = 10. Ответ: а) \/3; б) 10.

965. Многие кривые удобно изучать в полярной системе коор­динат, задавая их уравнением F(r, р) = 0 или r = r(y>). На­пример, окружность (x - R)² + y² = R² с центром в точке (R, 0) радиуса R в полярной системе координат имеет уравне­ние r = 2R cos р. Легко показать, что уравнение r = 2R sin р определяет в полярной системе координат окружность с цен­тром (0, R) радиуса R.

966. 17.4. Запишите уравнение прямой Ax + By + C = 0 (C = 0) в полярной системе координат.

967. Решение. Полагая x = r cos р, y = r sin р получим искомое уравнение

968. r = ~_Л ^-C7^ . (17.6)

969. A cos р + B sin р

970. Это уравнение недостаточно наглядно характеризует прямую. Преобразуем его следующим образом. Через а обозначим угол наклона вектора нормали N(A, B) прямой к полярной оси.

971. Тогда

972. cos а =

973. A

974. ^]A² + B²'

975. sin а

976. B

977. \] A² + B²'

978. Поделим числитель и знаменатель в (17.6) на \/A² + B², полу­чим

     53. ip-Тогда

979. C

     54. ^р

     55. Обозначим p

981. cos a cos р + sin а sin C

982. ^{- ]}A² + B²

983. r

984. ^p

985. cos(p - a)

986. Величина [pi равна рассто­янию от полюса до прямой, то есть длине перпендикуля­ра, опущенного из полюса на прямую, а угол а - угол на­клона этого перпендикуляра к полярной оси.

     56. sin р уравнение r

987. Прямую, проходящую че­рез начало координат и не параллельную оси OY, можно за­дать уравнением y = kx. В полярной системе эту прямую мож­но задать как лучи р = arctg k и р = arctg k + п. Уравнение p

988. 57. ^p

     58. cos р

     r = описывает прямую y = p, параллельную оси OX, а

     59. _x² _y²

     60. 17.5. Запишите уравнение эллипса —рг + 777

     61. a² b²

989. прямую x = p, параллельную оси OY.

991. 1 в полярной

992. системе координат, приняв его фокальную ось за полярную и поместив полюс в правом фокусе эллипса.

993. Решение. Выберем декартову систему координат следую­щим образом: ось OX направим по фокальной оси эллипса, а начало координат поместим в правый фокус эллипса.

994. Если расстояние между фокусами равно 2c, то фокусы бу­дут находиться в точках i*2(—2c;0) и i<i(0;0). Пусть M(x,y) -произвольная точка эллипса. Тогда

995. MF₂ + MFi = 2а, (а = const). Обозначим r2 = MF2, ri = MFi. Находим

996. rj = x² + y², r² = (x + 2c)² + y², rj — r2 = — 4cx — 4c². Так как ri + r2 = 2а, то (ri — r2)2a = — 4cx — 4c². Для неизвест­ных ri и r2 составляем систему уравнений

     62. x2

997. r + r2 = 2а,

     63. а

     64. а

998. c c²

999. ri — r2 = —2

1000. = — 2ex — 2ce. ■ее. При данном выборе полярной

      ^r2

      Отсюда находим ri = а — ex — системы координат имеем r

      Поскольку

1001. c

1002. а

1003. = е

1004. эксцентриситет эллипса, то

      65. r, x

1005. r + r2 = 2а, ^r

1006. r cos p. Поэтому

1008. r = а — er cos p — ec.

      Отсюда

1009. а — ec 1 + e cos p

      r=

1010. Преобразуем выражение в числителе дроби:

1011. c² а² — c² b²

1012. а — ec = а

      _b2

      а

1013. Обозначим p

1014. вид

1015. ааа Тогда полярное уравнение эллипса примет

66. r

1016. ^p

1017. 1 + e cos p Напомним, что для эллипса e < 1.

1018. 17.6. Построить кривую r = 2cos3p и найти её уравнение в декартовых координатах.

1019. 67. п 12

1020. гом

1021. Решение. Придадим углу p, начиная с нуля, значения с ша-и вычислим соответствующие значения r. Полученные

1022. точки наносим на плоскость с заданной полярной сеткой и со­единяем их плавной линией.

1023. Запишем уравнение r = 2 cos 3p в декартовой системе коор­динат, выбранной ранее описанным способом. Используя фор­мулы тригонометрии, можем записать, что

1024. cos 3р = 4 cos³ р - 2 cos р = cos p(cos² р - sin² р). Следовательно, уравнение r = 2 cos 3р приводится к виду

1025. / ₂ + ₂ = 2x / _jx² 3y² \

1026. ^{VX У} Vx^+y^K x² + y² x² + y²)-Находим искомое уравнение

1027. (x² + y²)² = 2x(x² - 3y²).

1028. 

1029. 17.7. Построить кривую, заданную в декартовой системе координат уравнением (x² + y²)^3/2 = xy, перейдя предвари­тельно к полярной системе координат.

1030. Решение. Так как из уравнения кривой следует, что xy > 0, то все точки кривой расположены в первой и третьей четвер­ти. Полагая x = r cos р, y = r sin р, получаем r³ = r² cos р sin р

1031. 2

      что соответствует первой и третьей четвертям.

      1

1032. или r = — sin2p, причём p изменяется в промежутках ' 2

1033. 0;

1034. п

1035. и

1036. Полученные точки наносим на плоскость с заданной поляр­ной сеткой и соединяем их плавной линией (рис. 17.7).