Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
магазинников.docx
Скачиваний:
29
Добавлен:
14.11.2018
Размер:
2.11 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

  1. , 0; 1, а(0;1; — 1) + в(1; — 2;0), а(2;1;1);

    1; —1, а(2;1;1), а(0;1; — 1) + в(1; —2;0).

     Во всех четырёх случаях а и в - любые числа.

  3. 13. Окружность. Сфера

  4. Необходимо изучить подразделы 2.1, 2.6, 2.7 пособия [5].

  5. Окружность с центром в точке (xo, yo) радиусом R на плос­кости можно задать уравнением (x — xo)2 + (y — yo)2 = R2. Уравнение вида a\\x2 + a22y2 + 2a\2xy + a0ix + a02y + a00 = 0 определяет на плоскости окружность, если aii = a22 = 0, ai2 = 0. При этом кривая может выродиться в точку или быть мнимой.

  6. Сферу с центром в точке (x0,y0) радиуса R можно задать уравнением (x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2. Уравнение

  7. aiix2 + a22y2 + a33z2 + 2ai2xy + 2ai3xz + 2a23yz+

  8. +a0ix + a02y + a03z + a00 = 0 определяет сферу, если aii = a22 = a33 = 0, ai2 = ai3 = a23 = 0. При этом поверхность может выродиться в точку или быть мнимой.

  9. 13.1. Докажите, что уравнение x2 + y2 + 6x — 10y = 11 опре­деляет окружность. Найдите её центр и радиус. Запишите урав­нение касательной к этой окружности в точке Мю(0; —1).

  10. Решение. Выделяем полные квадраты:

  11. x2 + 6x + 9 — 9 + y2 — 10y + 25 — 25 = 11, (x + 3)2 — 9 + (y — 5)2 — 25 = 11, (x + 3)2 + (y — 5)2 = 45. Видим, что заданная кривая - окружность и центр её находит­ся в точке C(—3; 5), а радиус R = \/4~5.

  12. Как известно, касательная к окружности перпендикуляр­на радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому вектор CMo = (3; —6)||(1; —2) можно принять в качестве вектора нор­мали касательной, следовательно, уравнение касательной мож­но записать в виде x — 2y + C = 0. Эта прямая проходит через точку Mo(0; —1), т.е. 2 + C = 0, C = —2. Итак, уравнение каса­тельной x — 2y — 2 = 0.

  13. Ответ: C(—3; 5), R = у/45, x — 2y — 2 = 0.

  14. 13.2. Докажите, что уравнение

  15. x2 + y2 + z2 + 2x + 4y — 8z + 2 = 0

  16. определяет сферу, найдите её центр, радиус и уравнение каса­тельной плоскости в точке Mo(2; 1; 5).

  17. Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

  18. x2 + 2x + 1 — 1 + y2 + 4y + 4 — 4 + z2 — 8z + 16 — 16 + 2 = 0 (x + 1)2 — 1 + (y + 2)2 — 4 + (z — 4)2 — 16 + 2 = 0, (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z — 4)2 = 19. Следовательно, данное уравнение определяет сферу с центром в точке C(—1; —2; 4) радиуса R = \/Г9. Вектор CMo = (3; 3; 1) является вектором нормали касательной плоскости к сфере в точке Mo. Поэтому 3x + 3y + z + D = 0 - уравнение касатель­ной плоскости. Точка Mo(2;1;5) лежит в плоскости. Поэтому 6 + 3 + 5 + D = 0, D = —14. Уравнение 3x + 3y + z — 14 = 0 -искомое.

  19. Ответ: C(—1; —2; 4), R = ^19, 3x + 3y + z — 14 = 0.

  20. Задачи для самостоятельного решения

  1. Запишите уравнение окружности с центром в точке C(4; —6), радиус которой R = 5.

  1. Ответ: (x 4)2 + (y + 6)2 = 25.

  1. Запишите уравнение окружности, проходящей через точку M(3; —2), с центром в точке C(—5; 4).

  1. Ответ: (x + 5)2 + (y 4)2 = 100.

  1. Запишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: Mi( —1; 5); M2(—2; —2) и M3(5; 5).

  1. Указание. Центр окружности, описанной около треугольни­ка, является точкой пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

  2. Ответ: (x 2)2 + (y 1)2 = 25.

  1. Запишите уравнения окружностей, которые прохо­дят через точку A(1; 0) и касаются двух параллельных прямых 2x + y + 2 = 0, 2x + y — 18 = 0.

  1. Ответ: (x — 5)2 + (y + 2)2 = 20, (x — 9/5)2 + (y — 22/5)2 = 20.

  1. Запишите уравнение окружности с центром в точке C(1; 1), касающейся прямой 5x 12y + 9 = 0.

  1. Ответ: (x 1)2 + (y + 1)2 = 4.

  1. Найдите центр и радиус окружности

  1. x2 + y2 2x + 4y 20 = 0. Ответ: C(1; 2), R = 5.

  1. Запишите уравнение касательной к окружности (x + 2)2 + (y — 3)2 = 25 в точке A(—5; 7).

  1. Ответ: 3x 4y + 43 = 0.

  1. Запишите уравнение сферы с центром в точке C(5; —4; 2) и радиусом R = 3.

  1. Ответ: (x — 5)2 + (y + 4)2 + (z — 2)2 = 9.

  1. Найдите центр и радиус сферы

  1. x2 + y2 + z2 — 4x — 2y + 2z — 19 = 0. Ответ: C(2; 1; —1), R = 5.

  1. Найдите радиус сферы, касающейся плоскостей 3x + 2y — 6z — 15 = 0 и 3x + 2y — 6z + 55 = 0.

  1. Ответ: 5.

  1. Запишите уравнение сферы с центром в точке C(3; —5; —2), касающейся плоскости 2x — y — 3z + 11 = 0.

  1. Ответ: (x — 3)2 + (y + 5)2 + (z + 2)2 = 56.

  1. Запишите уравнение касательной плоскости к сфере (x — 3)2 + (y — 1)2 + (z + 2)2 = 24 в точке M(—1; 3; 0).

  1. Ответ: 2x — y — z + 5 = 0.

  3. 14. Эллипс. Гипербола. Парабола

  4. В этом разделе рассмотрим решение задачи приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду. За­дачи, связанные с выделением полных квадратов, трудностей не представляют (см. примеры в п. 2.6, 2.7 пособия [5]).

  5. 14.1. Дана кривая 3x2 + 10xy + 3y2 — 2x — 14y — 13 = 0 от­носительно правой декартовой системы координат. Докажите, что эта кривая - гипербола. Найдите её действительную, мни­мую полуоси и центр симметрии. Запишите уравнение фокаль­ной оси. Постройте данную гиперболу.

  6. Решение. Квадратичную форму B(x,y) = 3x2 + 10xy + 3y2

  7. приводим к главным осям. Для этого записываем матрицу этой

  8. 35

  9. квадратичной формы B = 5 3 и находим её собственные

  10. 53

  11. числа и собственные векторы. Записываем и решаем характе­ристическое уравнение матрицы b:

    1. 3- x

  12. 3- x 5

  13. (3 — X)2 — 25 = X2 — 6x — 16 = 0,

  1. Xi,2 = 3 ± V9 + 16 = 3 ± 5, Xi = 8, X2 = —2. Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую гиперболического типа. Нахо­дим собственные векторы матрицы B. Для собственного числа xi = 8 получаем систему

    1. I 5£i

  2. + 56 = 0, 56 = 0,

  3. отсюда 6 =6- Полагая 6 = 1, найдём единичный собственный

  4. вектор ii = ( —=, —= ]. По свойству собственных векторов сим-22

  5. метрического оператора второй собственный вектор ji орто- гонален вектору ii. Выберем вектор ji = ( -=, —= J таким

  6. 22

  7. образом, чтобы базис (ii, ji) был правым (вектор ii находится в первой четверти исходной системы координат, вектор ji - во второй, поворот от вектора ii к вектору ji на меньший угол осуществляется против часовой стрелки). От старого базиса (0, i, j) перейдём к новому базису (0, ii, ji). Матрица перехода имеет вид

  8. q =\l/—l q-i = qT = Г 1/—2

  9. q [ 1/ур2 1/у!2\ ' q =q [ —1/V2 1/V2 _ '

  10. Старые координаты (x,y) связаны с новыми (xi,yi) соотноше­ниями (см. формулы (1.29) в [5], с.45):

  11. x xi xi i x

  12. = Q , = Q-i , или

  13. y yi yi y

    1. x

    = (xi — yi)/V2, j xi = (x + y)/V2,

  2. y = (xi + yi)/y/2, \ yi = (—x + y)/V2

  1. В новой системе координат квадратичная форма имеет ка­нонический вид, поэтому уравнение данной кривой можно за­писать как

  2. 2 14 8x? — 2y2 — — (xi — yi) — ^2 (xi + yi) — 13 = 0, или

  3. 2 16 2 12

  4. 8x2 — 72 xi — 2y2 — — yi — 13 = 0.

  5. Выделяя полные квадраты, получаем

  6. 8 (xi — 72xi + ( ^ — (T^)) —

  7. -iy2+72yi+(72) 2—(M 1—13=0.

  8. 8(xi—т?)2—2(yi+—13—4+9=0-

  9. Кxi — Ti)2 — 2(yi + 72)2 = a

  10. Делим обе части уравнения на 8:

  11. (xi — 7г) (yi + 72)

  12. 1 4 '

  13. Произведём преобразование параллельного переноса систе­мы координат в новое начало Oi по формулам

  16. или

  17. y2 = yi + 71 1 yi = y2 — '

  18. Выражаем новые координаты x2, y2 через старые x, y: Г x2 = (x + y — 1)/y/2,

  19. I y2 = (—x + y + 3)/V2'

  20. В системе координат OiX2У2 уравнение кривой имеет ка-

  21. x2 y2

  22. нонический вид: -12 —= 1. Сравнивая полученное уравне­ние с каноническим уравнением гиперболы, видим, что а2 = 1, b2 = 4. Таким образом, действительная полуось а = 1, а мни­мая b = 2.

  23. Запишем уравнения новых осей OiX2, OiУ2. В системе ко­ординат OiX2Y2 уравнения осей Oi- 2, OiY2 имеют вид y2 = 0, x2 = 0. Выражаем новые ко­ординаты (x2, y2) через старые

  24. (x, y):

  25. Следовательно, оси Oi- 2, OiY2

  26. направлены по прямым x + y 1 = 0, x y 3 = 0.

  27. U„„„TT„ ,тт „„„„„„„„„ Г\ V.V. „„„„„

  28. Начало новой системы координат OiX^}^ - точка Oi, явля­ется центром симметрии гиперболы. Её координаты в системе OiX2Y2 - Oi(0;0). Выражаем новые координаты (x2,y2) через старые (x, y):

  29. Г x2 = (x + y — 1)Д—= 0, ии Г x + y = 1,

  30. I y2 = (—x + y + 3)/V2 = 0. или \ —x + y = —3.

  31. Решая систему, получаем x = 2, y = —1, Oi(2; —1). Фокальной осью гиперболы является ось OiX^. Её уравнение в старой си-

  32. стеме координат мы уже записали: x y 3 = 0. Для построе-

  33. ния гиперболы строим в старой системе новую систему, в кото­рой строим данную гиперболу (рис.14.1). Заметим, что прямые y2 = ±2x2 являются её асимптотами.

  34. Ответ: а = 1, b = 2, Oi(2; —1), x — y — 3 = 0.

  35. 14.2. Дана кривая 9x2 — 24xy + 16y2 — 20x + 110y — 50 = 0 от­носительно правой декартовой системы координат. Докажите,

  1. что эта кривая - парабола. Найдите значение её параметра p, координаты вершины и уравнение её оси симметрии.

    1. B

  2. Решение. Аналогично решению задачи 14.1. Матрица квадратичной формы B = 9x2 — 24xy + 16y2:

  3. 9 —12 — 12 16

    1. X2 — 25X = X(X — 25) = 0; Xi = 0, X2 = 25.

    Находим её собственные векторы и собственные числа

  5. 9 — X —12 -12 16- X

    1. Г 9£i — 126 = 0,

    2. |_ 12£ , 16£. =0 или 3£i = 4£2.

    Так как одно из собственных чисел равно нулю, то кривая - па­раболического типа. Находим собственные векторы. Для числа Xi = 0 имеем систему

  8. —12£i + 166 = 0,

  9. Если положим £1 =4, £2 = 3, то единичный собственный век­/4 3Ч

  10. тор ii имеет координаты ix = —,—

  11. 55

  12. Другой собственный вектор, отвечающий собственному чис­лу X2 = 25, может быть задан в виде ji = ( —, — \. Базис

  13. 55

  14. (ii,ji) принят правым (вектор ii находится в первой четверти исходной системы координат, вектор ji - во второй, поворот от вектора ii к вектору ji на меньший угол осуществляется про­тив часовой стрелки). Переходим от базиса (O, i, j) к (Oi, ii, ji). Запишем матрицу перехода и обратную к ней

  15. Q = Г 4/5 —3/5 1 i = qt = Г 4/5 3/5 "

  16. Q [3/5 4/5 У Q Q I —3/5 4/5 _ .

  17. Новые координаты (xi, yi) связаны со старыми (x,y) соотно­шениями

  18. x = (4xi — 3yi)/5, Г xi = (4x + 3y)/5, y = (3xi + 4yi)/5, \ yi = (—3x + 4y)/5. В новой системе координат уравнение параболы принимает вид

  1. 25y2

  2. 20

  3. ч 110, 3yi) + —(3xl + 4yi) 5

  4. 50 = 0,

  5. или

  1. 25y 2 + 100yi + 50xi - 50 = 0,

  2. 25(y2 + 4yi +4 - 4) + 50xi - 50 = 0,

  1. 25(yi +2)2 = -50xi + 150,

  2. (yi + 2)2 = -2(xi - 3).

  3. Совершим параллельный перенос осей координат в новое на­чало Oi по формулам

  4. x2 = (xi - 3), Г xi = 3 + x2,

  5. или

  6. y2 = yi +2. { yi = -2 + y2.

  7. Выражаем новые координаты (x2,y2) через старые (x,y): x2 = (4x + 3y - 15)/5, y2 = (-3x + 4y + 10)/5. Уравнение параболы в системе координат OX2Y2: у2 = -2x2. Это уравнение не является ка­ноническим, поскольку у пере­менной x2 есть знак "-При­ведёт к каноническому виду преобразование координат

  1. x3

  2. y3

  3. -x2, -y2,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности