21. 1	2	3	2	4		1	2	3	2	4
    0	—1	—5	—3	—9		0	—1	—5	—3	—9
    0	0	—1	1	1		0	0	—1	1	1
    0	0	—8	—6	—20		0	0	0	—14	—28

22. Элементы второй строки матрицы поделим на ( — 1), элементы четвёртой строки поделим на (—14).

23. 1	2	3	2	4
    0	1	5	3	9
    0	0	—1	1	1
    0	0	0	1	2

24. Таким образом, исходная система эквивалентна системе:

25. xi + 2x2	+	3x3	+	2x4	= 4,
    x2	+	^5x3	+	3x4	= 9,
    	—	^x3	+	x4	= 1,
    				x4	=2

26. из которой видно, что x₄ = 2. Из третьего уравнения, подстав­ляя значение x₄, находим x₃ = x₄ — 1 = 2 — 1 = 1. Из второго уравнения x₂ = —5x₃ — 3x₄ + 9 = —5 — 6 + 9 = —2. Из первого __2x„ _ _3x„ _ _2x. +4=4_3_4+4=1 М_ы

27. уравнения xi = —2x2 — 3x3 — 2x4 + 4 = 4 — 3 — 4 + 4 получили решение: (1, —2, 1, 2).

28. Ответ: x4 = 2, (1; —2; 1; 2).

29. Задачи для самостоятельного решения

2. При каких значениях параметра p, если они существу­ют, данная система совместна?

21. 3xi + 2x2 + x3 = 1,

22. 2xi + 3x2 + x3 = 2,

23. 2xi + x2 + 3x3 = —2,

24. —2x₁ + 3x₂ — 7x₃ = p.

    21. xi 3xi 5xi

25. Ответ: p = 10.

3. Найдите ранги основной и расширенной матриц. Оха­рактеризуйте систему.

21. a)

21. 2x2 + 3x3 = 4, 4x2 + 6x3 = 7, 11x2 + 12x3 = 14,

    21. xi 3xi 5xi

22. x2 + 3x3 = —3.

    21. б)

23. 2x2 + 3x3 = 4, 4x2 + 6x3 = 7, 11x2 + 12x3 = 14,

    21. xi 3xi 5xi

24. x2 + 3x3 = 6.

    21. в)

25. 2x2 + 3x3 = 4,

26. 4x2 + 6x3 = 7,

27. 8x2 + 12x3 = 15,

28. 4x2 + 6x3 = 10.

29. Ответ: а) система не имеет решений; б) система опреде­лённая; в) система неопределённая.

4. Дана система

21. 2xi — x2 — x3 = 7, 3xi + 4x2 — 2x3 = 17,

22. 5xi + 2x2 — 2x3 = 22.

23. Докажите, что система имеет единственное решение. Неизвест­ное Х\ найдите по формуле Крамера. Решите систему методом Гаусса.

24. Ответ: (3; 1; —2).

5. Дана система

21. 4xi + х₂ + 5хз = 5, 5xi + х₂ + 2х₃ = 10, 3х₁ — х₂ + х₃ = 3.

22. Докажите, что система имеет единственное решение. Неизвест­ное х₂ найдите по формуле Крамера. Решите систему методом Гаусса.

23. Ответ: (2; 2; —1).

6. Дана система

21. 2х₁ + х₂ — х₃ + 2х₄ = —4,

22. 2х₁ + 3х₂ — 3х₃ + 4х₄ = —14,

23. 8х₁ + 3х₂ + 2х₃ + 2х₄ = —1,

24. 8х₁ + 5х₂ + х₃ + 5х₄ = —7.

25. Докажите, что система имеет единственное решение. Неизвест­ное х₂ найдите по формуле Крамера. Решите систему методом Гаусса.

26. Ответ: (0; —3; 3; 1).

7. Дана система

21. 2х₁ + х₃ + х₄ = 7,

22. 3х₁ — х₂ + 2х₃ — х₄ = 13,

23. 6х₁ + 4х₂ — х₃ + 3х₄ = 9,

24. х1 — х2 + 2х3 — х4 = 7.

25. Докажите, что система имеет единственное решение. Неизвест­ное х₃ найдите по формуле Крамера. Решите систему методом Гаусса.

26. Ответ: (3; —2; 1; 0).

8. Дана система

21. 2x₁ + 5x₂ + x₃ + x₄ = —8,

22. bx\ + x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 15,

23. —2xi + 4x₂ + 2x₃ — 2x₄ = —6,

24. 4xi + 14x₂ + 3x3 + 3x₄ = —25.

25. Докажите, что система имеет единственное решение. Неизвест­ное xi найдите по формуле Крамера. Решите систему методом Гаусса.

26. Ответ: (2; —3; 4; —1).

9. Дана система

21. 7x₁ + x₂ + 2x₃ + 4x₄ = 3,

22. 6x₁ + 2x₂ + x₄ = 6,

23. 4xi + x2 + x3 + 2x4 = 2,

24. 5x₁ + 3x₂ — 3x₃ + 4x₄ = —18

25. —3x₁ — 5x₂ + 8x₃ — 4x₄ = 39.

26. Докажите, что система имеет единственное решение. Решите систему методом Гаусса.

27. Ответ: (2; —1; 3; —4).

28. 7. Решение неопределённых систем линейных уравнений

29. Необходимо изучить пп. 1.4.1, 1.4.2, 1.4.4, 1.4.5 пособия [5].

30. 7.1. Дана система

31. x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 3x₄ + 7x₅ = 30,

33. 5x₁ + 3x₂ + x₃ + x₄ — 7x₅ = —11.

34. Докажите, что эта система совместна, найдите ее общее реше­ние и частное решение, если x₃ = x₄ = 1, x₅ = 3.

35. Решение. Применим к этой системе метод Гаусса. Запи­шем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, дей­

36. ствуя только со строками. Вычитаем первую строку из второй; первую строку, умноженную на (—5), прибавляем к третьей.

21. 1 0 0

22. 233 1 —2 —2 122

23. 7

24. 6 6

25. 30 23 23

21. затем прибавляем вторую строку к третьей:

22. 	1	2	33	7	30
    —	0	—1	—2 —2	—6	—23
    	0	0	00	0	0

23. Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц ра­вен 2, следовательно, система совместна. Неизвестных в дан­ной системе 5 (что больше ранга), поэтому система является неопределённой.

24. В преобразованной матрице системы выделяем базисный 1 2

25. минор: о 1 = —1 = 0. Таким образом, неизвестные Х\,

26. Х2 приняты в качестве зависимых, а Хз, Х4, Х5 - в качестве свободных.

27. Для неопределённой системы следует записать общее реше­ние. В нём каждое зависимое неизвестное должно быть выра­жено через свободные. Во втором уравнении преобразованной системы неизвестного Х1 нет. Это позволяет исключить неиз­вестное Х2 из первого уравнения. Вторую строку полученной матрицы умножаем на 2 и прибавляем к первой:

21. 1 0 0 1 5 6

22. — 16 "

23. —23

21. Полученная матрица является расширенной матрицей системы

22. Г x_i — x₃ — x₄ — 5x₅ = — 16, \ —x₂ — 2x₃ — 2x₄ — 6x₅ = —23,

23. эквивалентной исходной системе. Выражаем зависимые неиз­вестные xi и x2 через свободные x₃, x₄, x5:

24. Г xi = —16 + x₃ + x4 + 5x5, _r

25. < - общее решение системы.

26. x2 = 23 — 2x3 — 2x4 — 6x5,

27. Полагая x3 = x4 = 1, x5 = 3 находим xi = —16 + 1 + 1 + 15 = 1, x2 = 23 — 2 — 2 —18 = 1. Мы получили частное решение системы (1;1;1;1;3).

28. Ответ- { ^xi = ^—16 + ^x3 + ^x4 + ^5x5^, _{(1; 1; 1; 1; 3)} Ответ. | x2 = 23 — 2x_:i — 2x± — 6x5. ^(1;1;1;1;3).

29. 7.2. Дана система линейных однородных уравнений

30. x_i — x₂ + x₃ + x₄ + 2x₅ = 0,

31. 2x_i + x₂ + 2x₃ — x₄ + x₅ = 0,

32. 7x_i + 5x₂ + 7x₃ — 5x₄ + 2x₅ = 0,

33. x_i + 2x₂ + x₃ — 2x₄ — x₅ = 0.

34. Докажите, что эта система имеет нетривиальные решения. За­пишите общее решение и какую-нибудь фундаментальную си­стему решений.

35. Решение. Исследовать систему будем методом Гаусса. За­писываем матрицу системы и, действуя только со строками, преобразуем ее, не меняя ранга. Первую строку, умноженную на (—2), прибавляем ко второй; первую строку, умноженную на (—7), прибавляем к третьей; вычитаем первую строку из четвёртой.

36. " 1 —11 1 2 ] Г 1 —11 1 2 " 2 1 2 —1 1 0 3 0 —3 —3

37. 7 5 7 —5 2 ~^ 0 12 0 —12 —12 1 2 1 -2 -1 0 3 0 -3 -3

38. Видим, что три последние строки пропорциональны. Две из них, например две последних, можно вычеркнуть, не меняя ранга матрицы. Получим матрицу

39. " 1 —11 1 2 "

40. 0 3 0 —3 —3

41. 21. (их в системе пять). Минор

    21. 3 = 0 можно принять в

    Ранг этой матрицы равен двум, следовательно, он меньше чис­ла неизвестных. По теореме 2 из подраздела 1.4.5 пособия [5] система имеет нетривиальные решения. Впрочем, это можно было заметить сразу. Поскольку уравнений в системе четыре, ранг ее матрицы не может быть больше четырех. Следователь­но, ранг матрицы системы за ведомо м еньше числа неизвестных

42. 1 —1

43. 03

44. качестве базисного. При таком выборе базисного минора неиз­вестные x_i и x₂ - зависимые, а x₃, x₄, x₅ - свободные. Во вто­ром уравнении преобразованной системы неизвестного x_i нет. Это позволяет исключить неизвестное x2 из первого уравне­ния. Для этого вторую строку полученной матрицы делим на 3, а затем прибавляем к первой:

45. " 1 —11 1 2 1 Г 10 1 0 1 " 0 10-1-1 ~^ 0 10-1-1 '