290. 1 —3 0 10

291. 41. 10

     42. 10

     43. 85 — 5p.

     44. = 99 и

     45. 2

     46. 14 + 4p

     то ранг матрицы A2 не меньше двух. Ранг будет равен двум, если ни третья, ни четвертая строки вместе с первыми двумя не попадут в состав базисного минора. Четвертая строка не войдёт в базисный минор только при q — 7 = 0 или q = 7. Третья строка, для того чтобы не войти в базисный минор, должна быть пропорциональна второй, то есть —3 + 3p = 14 — 4p = 17 — p

292. 47. 85 — 5p, получаем 9p 11. При найденном значении p все части пропорции дают

     или — 3 + 3p = — 14 + 4p

293. Решая уравнение

294. ^p

295. число 3, то есть третья строка пропорциональна со второй с коэффициентом 3.

296. Таким образом, мы показали, ранг матрицы A равен двум при p = 11 и q = 7.

297. Ответ: p =11, q = 7.

298. 4.6. В арифметическом линейном пространстве R5 даны вектора ai = (1; 2; 3; —1; 2), &₂ = (2; 3; 5; 1; 1), аз = (5; 8; 13; 1; 4) и а4 = (3;4;7;3;0). Найдите размерность линейной оболочки L(ai, а2, аз, и какой-нибудь ее базис.

299. Решение. Размерность линейной оболочки £(а1, а2, аз, совпадает с рангом матрицы A, составленной из координат векторов (а1, а2, аз, а4). Записываем координаты векторов в столбцы матрицы, а затем выполняем преобразования, не ме­няющие ранга матрицы A. Первый столбец, умноженный на ( — 2) , прибавляем ко второму; первый столбец, умноженный на ( — 5) , прибавляем к третьему; первый столбец, умноженный на ( — 3) , прибавляем к четвёртому. В полученной матрице второй, третий и четвёртый столбцы пропорциональны. Любые два из них можно вычеркнуть, не изменив ранга матрицы. Вычерк­нем третий и четвёртый столбцы.

300. 10 2 —1

301. вательно ранг матрицы А равен двум. Потому и размерность линейной оболочки £(а1, а2, аз, также равна двум. Первые два столбца матрицы А вошли в базисный минор. Это означает, что векторы а1 и а2 линейно независимы. Поэтому в качестве базиса в £(а1, а2, аз, можно принять векторы а1 и а2.

302. Ответ: размерность линейной оболочки 2, базис {а1; а2}.

303. Задачи для самостоятельного решения

305. 4.7. Пусть дано множество Q всех многочленов степени не выше п. Суммой двух многочленов A_n = a₀xⁿ + a\xⁿ~¹ + ... + a_n-ix + a_n и

306. B_n = boxⁿ + b\xⁿ~¹ + ... + b_n-\x + b_n называют многочлен

307. Cn = (ao + bo)xⁿ + (ai + bl)x^n-1 +... + (an-i + bn-i)x + (an + bn),

308. а произведением многочлена A_n на число Л - многочлен

309. Q_n = Лa₀xⁿ + Лa₁ x^n-1 + ... + Лa_n-1x + Лa_n.

310. Докажите, что множество Q с указанными операциями об­разует линейное пространство. Укажите его размерность и ка­кой-нибудь базис.

311. 4.8. Докажите, что множество всех многочленов степени ровно п линейного пространства не образуют (операции сложе-

312. ния многочленов и умножения на число введены, как в задаче

313. 4.7).

314. 4.9. Докажите, что множество всех квадратных матриц вто-

315. рого порядка с известными операциями сложения и умноже-

316. ния на число образуют четырехмерное линейное пространство. Укажите какой-нибудь базис этого пространства.

317. 4.10. На множестве M всех упорядоченных пар (u; v) по-

318. ложительных чисел операции сложения и умножения введены

319. следующим образом:

320. (ui; vi) + (u2; V2) = (ui • u₂; vi • V2); Л(и; v) = (u^A; v^A),

321. где Л - вещественное число. Докажите, что при этом множе-

322. ство M становится линейным пространством. Выясните: а) ка-

323. кая пара играет роль нулевого элемента; б) какая пара являет-

324. ся противоположной паре (u; v); в) укажите размерность этого пространства и какой-нибудь его базис.

325. Ответ:

326. ; в) 2; (10,1); (1,10).

11. На множестве M всех упорядоченных пар (u; v) веще­ственных чисел введены операции одним из следующих спосо­бов:

327. а) (ui; vi) + (U2; v₂) = (ui + 2u2; vi + 2V2); X(u; v) = (Xu; Xv);

328. б) (ui; vi) + (u2; v2) = ^^Щ + ^Vl; ^V'² + ^V2^j ; X(u; v) = (Xu; Xv);

329. в) (ui; vi) + (u2; v2) = (ui + u2; vi + v2); X(u; v) = (u; v).

330. Будет ли при этом множество M линейным пространством? В случае отрицательного ответа выясните, какие аксиомы не выполняются.

12. Докажите, что любая система векторов линейного пространства R, содержащая два одинаковых вектора, линейно зависима.

13. Пусть векторы a и b линейного пространства R линей­но независимы. Исходя из определения, докажите, что векторы a — 2b и a + 2b также линейно независимы.

14. Докажите, что векторы a, b, 2a + 3b линейного про­странства R линейно зависимы.

15. Докажите, что множество L всех векторов (x,y,z) арифметического линейного пространства R3, удовлетворяю­щих условию x + y + z = 0, образует линейное подпространство пространства R3. Укажите размерность L и какой-нибудь ба­зис.

331. Ответ: 2; например, ( — 1, 0,1) и (—1,1, 0).

16. Докажите, что множество L всех векторов (x,y,z) арифметического линейного пространства R₃, удовлетворяю­щих условию x + y + z = 1, не образует линейного подпро­странства.

332. 4.17. Докажите, что ранг матрицы A при любых значениях a, b, c, d не меньше двух.

333. 12 3 —5 A = I —14 3 4 a b c d

334. 4.18. Докажите, что столбцы матрицы A линейно зависи-

335. мы.

337. A

338. 2

339. 7

340. 6

341. 35 14 23

342. 4.19. Укажите те значения параметров p и q, при которых

344. ранг матрицы A

345. 2 6

346. 10

348. равен единице.

349. Ответ: p = 9; q = 15.

31	—10 —20		—2	0	1
—2	9 —10	; б) I	—1	3	4
—13	3 10		1	—1	—2

20. Найдите ранг матрицы

369. а)

371. Ответ: а) 2; б) 3.

21. Найдите ранг матрицы

22. A

1	1	—1	—2	—2	2
2	3	—2	—5	—4	5
1	—1	—1	0	—2	0
1	2	1	1	2	1

21. Ответ: 2.

21. 4.22. Укажите значения параметра p, если они существуют, при которых матрица A имеет наименьший ранг. Чему равен rang A при найденных значениях p?

22. A

23. 12 25 25 12

24. ^p 1 6 2

21. 3

21. Ответ: при p = 7 rangA

22. 4.23. Докажите, что третья строка матрицы A является линейной комбинацией первых двух, и найдите коэффициенты этой линейной комбинации.

22. A

23. 1 —4 3

24. 5 3 —1 13 17 9

21. Ответ: —2; 3.

22. 4.24. Является ли система векторов ai = (3; —3; 0; 7),

23. a₂ = (2; 2; 4; 7), a₃ = (1; 2; 3; 4), a₄ = (5; —4; 1; 3) линейно зави­симой?

24. Ответ: система векторов является линейно зависимой.

25. Является ли система векторов ai = (2; 2; —3; —4),

21. a₂ = (1; 2; 3; 5), a₃ = (3; 4; —1; —4), a₄ = (4; 7; 7; 3) линейно за­висимой?

22. Ответ: система векторов является линейно независимой.

26. Найдите размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки векторов a_i = (1; 0; 0; —1), a₂ = (2; 1; 1; 0),

21. a3 = (1; 1; 1; 1), a4 = (1; 2; 3; 4), a5 = (0; 1; 2; 3) арифметическо­го линейного пространства R4.

22. Ответ: размерность линейной оболочки 3; базис, напри­мер, {ai, a2, a4}.

23. 4.27. Укажите значения параметров p и q, если они суще-

24. ствуют, при которых каждый из векторов аз = (5; —p; 9; 26; 19),

25. а₄ = (—3; —1;p;18;4), а5 = (—11; q; 11;p; —11) является линей­ной комбинацией векторов