Лекция № 5 расчет надежности при различных законах распределения

Понятие закона распределения случайной величины.

В теории надежности наибольшее применение для непрерывных случайных величин получили следующие законы распределения:

1. Экспоненциальный.

2. Нормальный.

3. Вейбулла.

4. Логарифмически нормальный.

5. Гамма-распределение.

Экспоненциальный закон. Величина интенсивности отказов является постоянной, т.е. не зависящей от времени (формула). Имеют место следующие зависимости между количественными характеристиками надежности (формулы).

Графические зависимости основных количественных характеристик надежности имеют следующий вид (графики).

Нормальный закон. Это распределение характерно для отказов, вызванных старением, износом, усталостью. Плотность распределения отказов имеет вид (зависимость), параметры которой определяются по формулам (зависимости).

Графики плотности вероятности и интегральная функция вероятности нормального распределения имеет вид (графики).

Основные характеристики нормального распределения – плотность вероятности, вероятность безотказной работы и интенсивность отказов приведены на графиках.

Для определения вероятности безотказной работы в формуле вычисление интегралов заменяют, используя квантиль нормированного нормального распределения. Это существенно упрощает расчеты. На практике вместо интегральной функции распределения пользуются функцией Лапласа, которая выбирается по таблицам.

Рассматриваются основные функции Лапласа.

Для решения практических задач часто приходится рассматривать вероятность попадания в некоторый интервал, который определяется по уравнению.

Логарифмически нормальное распределение. В этом законе распределения логарифм случайной величины распределен по нормальному закону. Распределение несколько точнее, чем нормальное, описывает наработку до отказа и его применяют для описания наработки электронных ламп, подшипников качения и других деталей. Плотность распределения описывается следующей зависимостью (формулы). Оценка параметров распределения проводится по формулам (приводятся зависимости). Тогда функцию распределения можно представить в следующем виде (формула).

Вероятность безотказной работы (соответственно, и вероятность отказа) можно определить по таблицам нормального закона распределения в зависимости от величины квантиля.

Зависимости функций плотности распределения, интенсивности отказов и вероятности безотказной работы для логарифмически нормального распределения приведены на графиках (графики).

Лекция № 6 расчет надежности при различных законах распределения (продолжение)

Распределение Вейбулла является довольно универсальным и охватывает широкий диапазон изменения вероятностей. Распределение характеризуется следующими зависимостями для плотности распределения, вероятности безотказной работы, интенсивности отказов.

Распределение Вейбулла имеет два параметра: формы и масштаба.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение определяются по формам. В таблице приведены значения параметров распределения (таблица).

Основные характеристики распределения при различных значениях параметров приведены на рисунках.

Об универсальности закона распределения Вейбулла.

Гамма-распределение. Случайная величина подчиняется гамма-распределению, если ее плотность вероятности имеет следующий вид (формула). С помощью таблиц распределения определяются основные показатели надежности: вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, частота отказов (формулы).

Графические зависимости отмеченных показателей надежности приведены на графиках, из которых видно, что величина параметра распределения оказывает существенное влияние на вид основных количественных характеристик надежности.

Это распределение применяется для оценки надежности сложных технических систем, когда имеют место отказы изделий на начальной стадии эксплуатации или в процессе отработки системы.