- •Общие принципы получения информации в физических исследованиях. Основные цели обработки сигналов. Преимущества цифровых методов обработки сигналов. Примеры практического применения.
- •Содержание, этапы, методы и задачи цифровой обработки сигналов. Основные методы и алгоритмы цос.
- •Основные направления, задачи и алгоритмы цифровой обработки сигналов
- •Дискретные и цифровые сигналы. Основные дискретные последовательности теории цос.
- •Линейные дискретные системы с постоянными параметрами. Импульсная характеристика. Физическая реализуемость и устойчивость.
- •Линейные разностные уравнения с постоянными параметрами, их практическое значение и решение.
- •Обратное z-преобразование и методы его нахождения: на основе теоремы о вычетах, разложение на простые дроби и в степенной ряд.
- •Передаточная функция дискретных систем. Диаграммы нулей и полюсов. Условие устойчивости.
- •Частотная характеристика дискретных систем. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.
- •Фазовая и групповая задержка. Цифровая частота и единицы измерения частоты, которые используются в цифровой обработке сигналов.
- •Общая характеристика дискретного преобразования Фурье. Задачи, решаемые с помощью дпф. Дискретный ряд Фурье.
- •Дискретный ряд Фурье
- •Свойства дискретных рядов Фурье. Периодическая свертка двух последовательностей.
- •Дискретное преобразование Фурье. Основные свойства.
- •Общая характеристика ряда и интеграла Фурье, дискретного ряда Фурье и дискретного преобразования Фурье. Равенство Парсеваля.
- •Прямой метод вычисления дпф. Основные подходы к улучшению эффективности вычисления дпф.
- •Алгоритмы бпф с прореживанием по времени. Основные свойства.
- •Двоичная инверсия входной последовательности для
- •Алгоритмы бпф с прореживанием по частоте. Вычисление обратного дпф.
- •Вычисление периодической, круговой и линейной свертки. Алгоритм быстрой свертки. Вычислительная эффективность.
- •Число действительных умножений при вычислении свертки двух n-точечных последовательностей
- •Вычисление линейной свертки с секционированием.
- •Амплитудный спектр, спектр мощности. Определение и алгоритмы получения.
- •Оценка спектра мощности на основе периодограммы. Свойства периодограммы. Методы получения состоятельных периодограммных оценок.
- •Основные проблемы цифрового спектрального анализа. Взвешивание. Свойства весовых функций. Модифицированные периодограммные оценки спм.
- •1.6.1. Просачивание спектральных составляющих и размывание спектра
- •Взвешивание. Свойства весовых функций
- •Паразитная амплитудная модуляция спектра
- •Эффекты конечной разрядности чисел в алгоритмах бпф
- •Метод модифицированных периодограмм
- •Основные характеристики цифровых фильтров. Рекурсивные и нерекурсивные цифровые фильтры, их преимущества и недостатки.
- •Структурные схемы бих-фильтров (прямая и каноническая, последовательная и параллельная формы реализации).
- •Структурные схемы ких-фильтров (прямая, каскадная, с частотной выборкой, схемы фильтров с линейной фазой, на основе метода быстрой свертки).
- •Проектирование цифровых фильтров. Основные этапы и их краткая характеристика.
- •Расчет цифровых бих-фильтров по данным аналоговых фильтров. Этапы и требования к процедурам перехода.
- •Общая характеристика аналоговых фильтров-прототипов: Баттерворта, Чебышева I и II типа, Золоторева-Каура (эллиптические). Методика применения билинейного z-преобразования.
- •Эффекты конечной разрядности чисел в бих-фильтрах. Ошибки квантования коэффициентов, ошибки переполнения и округления. Предельные циклы.
- •Расчет цифровых ких-фильтров: методы взвешивания и частотной выборки.
- •Эффекты конечной разрядности чисел в ких-фильтрах.
- •Общая структурная схема системы цос. Дискретизация сигналов. Теорема отсчетов.
- •Погрешности дискретизации. Выбор частоты дискретизации в реальных условиях. Эффект наложения спектров
- •Дискретизация узкополосных сигналов
- •Выбор частоты дискретизации на практике
- •Квантование сигналов. Погрешность квантования. Отношение сигнал/шум и динамический диапазон при квантовании сигналов. Равномерное и неравномерное квантование
- •Анализ ошибок
- •Отношение сигнал/шум и динамический диапазон
- •Способы реализации алгоритмов и систем цос. Понятие реального времени обработки.
- •Особенности цос, влияющие на элементную базу, ориентированной на реализацию цифровых систем обработки сигналов.
- •Общие свойства процессоров цифровой обработки сигналов и особенности их архитектуры.
- •Архитектура Фон Неймана и гарвардская архитектура в пцос. Преимущества и недостатки.
- •Универсальные процессоры цос. Общая характеристика процессоров с фиксированной и плавающей точкой (запятой).
- •Основные различия между микроконтроллерами, микропроцессорами и сигнальными процессорами.
-
Амплитудный спектр, спектр мощности. Определение и алгоритмы получения.
Основу спектрального анализа, как известно, составляет преобразование Фурье. При этом, для детерминированных периодических сигналов в большинстве случаев ограничиваются амплитудным спектром:
(1.192)
где
(1.193)
(1.194)
– коэффициенты соответствующего ряда Фурье.
Рассмотрим следующее определение спектральной плотности мощности, которое широко использовалось на практике до появления алгоритмов быстрого преобразования Фурье:
(1.199)
где x(t,,Δ) – процесс (сигнал) на выходе полосового фильтра с центральной частотой и полосой пропускания Δ.
Запишем данное выражение в более привычном виде:
(1.200)
где В – ширина полосы пропускания узкополосного фильтра с центральной частотой f.
Выясним физический смысл выражения для Как известно, если имеется временная реализация некоторого сигнала х(t), то – это мгновенная мощность, а
(1.201)
– энергия, а величина
(1.202)
является средней мощностью сигнала.
Тогда выражение
(1.203)
определяет среднюю мощность сигнала на выходе полосового фильтра с центральной частотой f и полосой пропускания В.
Следовательно, спектральная плотность мощности – это мощность, приходящаяся на 1 Гц в окрестности частоты f , т. е.
при В→ 0. (1.204)
Для получения оценки спектра мощности в некотором частотном диапазоне достаточно иметь или параллельный набор полосовых фильтров или же один полосовой фильтр с изменяемой центральной частотой. В первом случае получают спектр с постоянным относительным разрешением, во втором – с постоянным абсолютным разрешением.
Параллельный метод построения анализаторов спектра широко применяется и в настоящее время в спектральном анализе, звуковых измерениях и анализе шума.
Однако, в последнее время наиболее часто используется определение спектральной плотности мощности, основанное на непосредственном преобразовании Фурье исследуемой реализации:
(1.205)
где
М – оператор статистического усреднения.
-
Оценка спектра мощности на основе периодограммы. Свойства периодограммы. Методы получения состоятельных периодограммных оценок.
В последнее время наиболее часто используется определение спектральной плотности мощности, основанное на непосредственном преобразовании Фурье исследуемой реализации:
(1.205)
где
М – оператор статистического усреднения.
Из данного определения оценка спектральной плотности мощности может быть получена в следующем виде
(1.206)
где
Здесь – это односторонняя спектральная плотность, поэтому в приведенном выражении стоит цифра 2.
Основные свойства этой оценки:
(1.207)
т. е. данная оценка является асимптотически несмещенной.
Дисперсия данной величины
(1.208)
Это значит, что асимптотически несмещенная оценка не является состоятельной. Другими словами, средняя квадратическая погрешность данной оценки равна 1 или 100 %.
Для получения эффективных оценок применяются методы сглаживания. В этом случае для получения правильных результатов при измерении необходимо перейти от вычисления точечной оценки к усреднению по множеству таких оценок. На практике в связи с этим возникают существенные трудности, обусловленные тем, что усреднять по множеству можно далеко не всегда. Как правило, экспериментатор располагает всего лишь одной или, в лучшем случае, двумя-тремя реализациями исследуемого процесса. Преодолеть возникшие трудности можно воспользовавшись некоторыми свойствами самой функции часто называемой периодограммой. Во-первых, она является случайной функцией частоты. При этом интервал корреляции по частоте составляет величину, примерно равную При случайные величины и с увеличением интервала Т становятся все менее коррелированными, т. е.
(1.209)
Это обстоятельство и лежит в основе получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности, т. е. путем сглаживания (усреднения) оценки по сравнительно небольшому интервалу частот может быть получена оценка с убывающей дисперсией, хотя и с некоторым смещением (рис. 1.36).
(1.210)
0 M f i M f
Рис. 1.36. Иллюстрация сглаживания по частоте
Для этой же цели, кроме того, применяется и усреднение по коротким периодограммам. В этом случае исходная реализация исследуемого сигнала x(t) длительностью T делится на более короткие реализации xi(t) длительностью По каждой реализации xi(t) находится оценка спектральной плотности, а затем вычисляется их среднее арифметическое, что позволяет уменьшить дисперсию результирующей оценки в М раз (рис. 1.37).
Рис. 1.37. Иллюстрация сглаживания по коротким реализациям
(1.211)
Измерение (оценка) спектра мощности (часто называемого энергетическим спектром) дает возможность, например, получать информацию о динамических характеристиках линейных физических систем с постоянными параметрами, позволяет исследовать соотношения между процессами на входе и выходе таких систем, обнаруживать скрытые периодичности и т. д.
В теоретических исследованиях принято чаще всего говорить об оценке спектра или спектральном оценивании.
в настоящее время в спектральном анализе используются оценки спектральной плотности мощности, основанные на прямом преобразовании исходных данных и последующем их усреднении. Этот метод, как уже отмечалось, чаще называют методом периодограммной оценки спектра мощности.
Для того, чтобы по отсчетам обрабатываемого сигнала можно было бы получить спектральные оценки в соответствующих единицах энергии или мощности, необходимо выражение для прямого ДПФ умножить, а для обратного ДПФ разделить на интервал дискретизации t:
(1.212)
(1.213)
где – интервал наблюдения (длительность обрабатываемой реализации).
В этом случае оценка спектральной плотности мощности будет определяться следующим образом:
(1.214)
где
Эта оценка называется выборочным спектром, периодограммой Шустера или просто периодограммой.
Данная оценка также не является состоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности (СПМ), так как дисперсия этой величины не стремится к нулю ни при каком сколь угодно большом значении N. Вследствие этого для получения состоятельных оценок требуется выполнение операции статистического усреднения. В этом случае будем иметь
(1.215)
Для расчетов используется выражение
(1.216)
которое называют исходной немодифицированной формой периодограммной оценки СПМ.
Для сглаживания периодограммной оценки используются три основных метода: метод Даньелла (Даниелла), Бартлетта и Уэлча. В методе Даньелла осуществляется усреднение оценок, полученных по соседним частотам (усреднение по смежным частотам), Бартлетта – по ансамблю (по коротким временным последовательностям), а в методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся реализациям для уменьшения смещения оценок из-за эффекта просачивания.
Практическое использование этих трех процедур подтверждает их статистическую устойчивость для многих классов сигналов.
Периодограмма Даньелла. Для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спектра в этом случае используется усреднение по соседним спектральным частотам. Если для вычисления выборочного спектра на сетке частот используется алгоритм БПФ, то сглаженная оценка периодограммы на частоте может быть получена посредством усреднения М значений с каждой стороны этой частоты:
(1.217)
Вычисление оценки по Даньеллу рекомендуется для случаев, когда анализируемое множество данных состоит из малого (100–500) или среднего (500–4000) числа выборок.
Периодограмма Бартлетта. При этом подходе последовательность входных данных х(п) из N отсчетов делится на K неперекрывающихся сегментов по М отсчетов в каждом, так что (рис. 1.38).
Тогда i-ый сегмент будет определяться таким образом:
(2.218)
Затем на каждом из этих сегментов независимо вычисляется выборочный спектр:
(2.219)
Далее на каждой частоте, представляющей интерес, K отдельных немодифицированных периодограмм усредняются с тем, чтобы получить усредненную периодограмму Бартлетта.
(2.220)
x(n)
... ...
Рис. 1.38. К иллюстрации периодограммы Бартлетта
Дисперсия рассмотренной оценки уменьшается с увеличением числа K, а величина смещения – увеличивается, так как при фиксированной выборке N с увеличением числа сегментов число выборок М в каждом из них уменьшается. Это приводит к ухудшению разрешающей способности спектрального анализа, так что приходиться находить компромиссное решение между значениями N и М.
Данная оценка применяется при N > 2000.
Периодограмма Уэлча. Уэлч модифицировал основную схему Бартлетта за счет использования перекрывающихся сегментов (рис. 1.39). Цель перекрытия– увеличить число усредняемых оценок спектральной плотности мощности при заданной длительности исходной реализации и тем самым уменьшить дисперсию результирующей оценки.
На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру для реализации данного метода, что и сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания.
Если выборка из N отсчетов разбита на К сегментов по М отсчетов в каждом со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами то максимальное число сегментов К будет определяться целой частью числа (N – M)/(S + 1).
Например, 50 %-е перекрытие сегментов во многих случаях обеспечивает весьма эффективную реализацию данного метода на основе алгоритмов БПФ. Кроме того, в этом случае все данные используются дважды, за исключением М/2 отсчетов на каждом конце исходной N-точечной последовательности данных. Следует отметить, что на практике часто используется перекрытие до 70 %.
Рис. 1.39. Формирование периодограммы Уэлча
Также как и дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия периодограммы Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегментов в предположении независимости сегментов (хотя перекрытие сегментов приводит к некоторой их взаимозависимости). Благодаря перекрытию по заданной выборке исходных данных можно сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартлетта, что уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.