9. Частотная характеристика дискретных систем. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.

Как известно, для того, чтобы получить частотную характеристику любой системы необходимо на её вход подать гармоническое колебание, а затем исследовать сигнал на выходе. Если система линейная, то на её выходе будет гармоническое колебание той же частоты, но с другими амплитудой и фазой.

Для дискретных систем в качестве входной используется последовательность

(1.69)

Выходная последовательность дискретной системы, имеющей импульсную характеристику h(n), определяется известным образом:

(1.70)

Обозначив

(1.71)

получим

(1.72)

Как видно, для выбранного класса входных последовательностей отклик дискретной системы совпадает с входной последовательностью с точностью до комплексного множителя .

Функция которую называют частотной характеристикой системы, описывает амплитудные и фазовые изменения входной экспоненциальной последовательности при условии, что ряд для сходится.

С учетом (1.65) выражение (1.72) можно представить таким образом:

(1.73)

Отсюда

(1.74)

Выражение (1.74) позволяет определить частотную характеристику как зависимость отношения реакции системы к гармоническому воздействию от частоты в установившемся режиме.

Функция в общем случае является комплексной и ее можно представить через модуль и аргумент

(1.75)

где – амплитудно-частотная (АЧХ), – фазочастотная (ФЧХ) характеристики линейной дискретной системы.

Определим физический смысл АЧХ и ФЧХ. С этой целью перепишем выражение (1.72) с учетом представления частотной характеристики в виде (1.74)

(1.76)

где – амплитуда, – фаза реакции системы.

Сравнивая выражение (1.76) с воздействием (1.65), можно получить следующее определение АЧХ и ФЧХ.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде гармонического воз­действия в установившемся режиме

(1.77)

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это частотная зависимость разности фаз реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме

(1.78)

В этой связи можно говорить о фазовом сдвиге, который получает входной гармонический сигнал при прохождении через линейную дискретную систему.

10. Фазовая и групповая задержка. Цифровая частота и единицы измерения частоты, которые используются в цифровой обработке сигналов.

Следует отметить, что в общем случае влияние фазовой характеристики системы на входной сигнал принято характеризовать фазовой задержкой и групповым временем задержки (групповой задержкой).

Фазовая задержка на частоте  – это задержка гармонического колебания с частой , проходящего через систему. Значение фазовой задержки равно фазовому сдвигу, вносимому системой, деленному на частоту гармонического колебания и взятому со знаком «минус»:

(1.69)

Групповая задержка (групповое время задержки или запаздывания) – это задержка огибающей узкополосного сигнала со средней частой . Групповая задержка определяется как производная от ФЧХ по частоте, взятая со знаком «минус»:

(1.80)

Часто говорят, что фазовая задержка – это величина временной задержки, которую испытывает каждая частотная составляющая сигнала при прохождении через линейную дискретную систему, а групповая задержка – это средняя временная задержка составного (сложного) сигнала.

Для модуля и аргумента частотной характеристики справедливы также следующие выражения:

(1.81)

и

(1.82)

где – действительная, а – мнимая части частотной характеристики.

Отсюда видно, что модуль частотной характеристики (АЧХ) – функция четная, а аргумент (ФЧХ) – нечетная функция частоты.

Нетрудно также заметить, что частотная характеристика является периодической функцией  с периодом 2.

Поскольку это так, то выражение для можно интерпретировать как ряд Фурье, в котором коэффициентами являются выборки импульсной характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) может быть определена через как коэффициенты ряда Фурье периодической функции, т. е.

(1.83)

Это представление имеет место не только для импульсных и частотных характеристик линейных систем, но и для любых последовательностей. Например, для произвольной последовательности x(n) можно записать

(1.84)

и

(1.85)

Так как для линейных дискретных систем справедливо выражение:

(1.86)

то с учётом вышеизложенного и из свойств рядов Фурье можно получить следующее равенство

(1.87)

Из этого выражения следует, что выходную последовательность линейной дискретной системы с постоянными параметрами можно получить, вычислив обратное преобразование Фурье от произведения частотной характеристики системы и преобразования Фурье входной последовательности.

Отсюда также можно получить еще одно выражение, определяющее частотную характеристику дискретной системы

(1.88)

т. е. частотная характеристика равна отношению преобразования Фурье выходной последовательности к преобразованию Фурье входной последовательности.

Сравнивая выражения для передаточной и частотной характеристик, легко заметить, что частотная характеристика может быть получена из выражения для передаточной функции путём простой замены на .

Следует отметить, что во всех рассмотренных выше выражениях  – это так называемая цифровая частота, которая связана с круговой частотой  таким образом:

(1.90)

При этом необходимо отметить, что при дискретизации аналоговых сигналов их спектр согласно теореме отсчетов ограничивается верхней частотой

(1.91)

вследствие чего спектр дискретных сигналов, а также частотные характеристики дискретных систем рассматриваются в диапазоне частот который иногда называют основным диапазоном или основной полосой частот.

В этой связи определенный интерес представляет вопрос о единицах измерения частоты, которые используются в цифровой обработке сигналов.

Как правило, для описания, например, частотных характеристик дискретных систем пользуются двумя единицами измерения частоты – (рад/с) и (Гц). Если частота измеряется в рад/с, то частотная характеристика принимает значения от до или, что эквивалентно, от до (поскольку ). Если пользоваться стандартной единицей измерения частоты в герцах, частотный диапазон будет меняться от 0 до или от 0 до Обе эти единицы можно записать в нормированном виде, т. е. при или, что эквивалентно, Тогда представляющий интерес частотный интервал или основную полосу частот можно выразить одним из шести следующих эквивалентных способов:

(1.92)

(1.93)

Измерение частоты в герцах больше привлекает, если пользоваться графиками частотной характеристики или требования­ми к дискретным системам. Однако при оценке численных математических формул в ЦОС удобнее пользоваться величинами, выраженными в рад/с, или их нормированными значениями. Применение нормированных частот позволяет исследовать частотные характеристики дискретных систем и спектры дискретных сигналов в единой полосе частот.

Для ЦОС важны не абсолютные значения частоты сигнала и частоты дискретизации, а их отношение

Пример 1.9. Заданы требования к частотной характеристике дискретного полосового фильтра в виде:

полоса пропускания – (6–10) кГц,

полосы затухания – (0–4) и (12–16) кГц,

частота дискретизации – 32 кГц.

Необходимо:

1. Выразить требования через нормированную частоту f.

2. Перевести требования из стандартных единиц (Гц) в рад/с.

3. Перевести требования п.2 из рад/с в нормированную частоту .

Решение:

1. Граничные частоты, заданные в Гц, можно записать в нормированном виде, просто разделив каждое их значение на частоту дискретизации. В результате получим:

полоса пропускания – (0,1875–0,3125);

полосы затухания – (0–0,125) и (0,375–0,5);

частота дискретизации – 1.

2. Поскольку то для того, чтобы перейти к рад/с, каждую граничную частоту необходимо умножить на 2. Тогда

полоса пропускания – (12 000  – 20 000 ) рад/с,

полосы затухания – (0–8000 ) и (24 000  – 32 000 ) рад/с,

частота дискретизации – 64 000  рад/с.

3. Граничные частоты из п.2 можно представить в нормированном виде, разделив каждую из них на 32 кГц (частоту дискретизации), например,

Таким образом, требования приводятся к виду:

полоса пропускания –

полосы затухания – и

частота дискретизации – 2.