28. Расчет цифровых бих-фильтров по данным аналоговых фильтров. Этапы и требования к процедурам перехода.

Рассмотрим выражение, определяющее передаточную функцию рекурсивных фильтров в общем случае:

Н(z) = (3.1)

Нетрудно заметить, что при замене переменной z на s выражение (3.1) представляет собой передаточную функцию аналогового фильтра. Сходство передаточных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит к тому, что одним из наиболее целесообразных подходов к проектированию цифровых рекурсивных фильтров является нахождение в определенном смысле цифровых вариантов методов расчета аналоговых фильтров. Реализация этого подхода требует разработки достаточно простых алгоритмов, обеспечивающих переход от расчета аналоговых фильтров к расчету цифровых. При этом можно выделить следующие два этапа /5/:

1) Получение подходящей передаточной функции H(s) аналогового фильтра, которая удовлетворяет заданным требованиям.

2) Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию H(s) в соответствующую передаточную функцию H(z), для получения метода расчета цифрового рекурсивного фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям. Этот двухшаговый алгоритм для наглядности можно представить в следующем виде (рис. 3.3)

Задано: технические характеристики фильтра

Расчет цифрового фильтра

Расчет аналогового фильтра

Процедуры перехода

Рис. 3.3 Иллюстрация процесса расчета цифровых рекурсивных фильтров по данным аналоговых

Такая методика наиболее целесообразна при проектировании фильтров с типовыми характеристиками, таких, например, как фильтры нижних и верхних частот, полосовых и режекторных. В этом случае данный метод позволяет эффективно использовать обширную литературу по проектированию аналоговых фильтров, тщательно разработанную радиоспециалистами за последние несколько десятилетий. Естественным является то, что практическое применение рассматриваемых методов требует глубоких знаний вопросов расчета и проектирования аналоговых фильтров.

Поскольку рассчитанные на первом этапе аналоговые фильтры удовлетворяют заданным требованиям, необходимо иметь уверенность в том, что полученные цифровые фильтры также обладают всеми требуемыми свойствами, включая частотные характеристики, т.е. поведением амплитуды и фазы аналоговых фильтров. По этой причине желательно, чтобы процедура перехода удовлетворяла следующим условиям:

1) Мнимая ось плоскости-s (, для ) должна отображаться в единичную окружность в z-плоскости ( для -) (рис. 3.4а). Формально это условие записывается в следующем виде:

{}{} (3.2)

Это свойство необходимо для сохранения частотных характеристик аналоговых фильтров.

2)Левая половина s-плоскости (Re[s]<0) должна отображаться в часть z-плоскости внутри единичного круга (|z|<1) (Рис. 3.4б). Это условие также можно представить в виде:

{s|Re[s]<0}  {z | |z|<1} (3.3)

Последнее условие необходимо для сохранения свойств устойчивости аналоговых фильтров. Иначе говоря, процедура перехода должна переводить устойчивые аналоговые фильтры в устойчивые цифровые.

Re[s] Re[z]

a)

Im[s] Im[z]

Re[S] Re[Z]

б)

Рис. 3.4 Условия, которым должны удовлетворять процедуры перехода в соответствии с Рис. 3.3.

Основными методами в рассматриваемой процедуре расчёта являются:

1. Метод численного интегрирования.

2. Метод инвариантного преобразования (инвариантности) импульсной характеристики.

3. Метод билинейного z-преобразования

4. Метод согласованного z-преобразования.

5. Метод размещения нулей и полюсов.

Рассмотрим каждый из них.

29. Методы расчета цифровых рекурсивных фильтров: численное интегрирование, инвариантное преобразование импульсной характеристики, билинейное z-преобразование, согласованное z-преобразование, метод размещения нулей и полюсов.

Метод численного интегрирования

В этом простейшем методе производная аппроксимируется некоторыми конечными разностями. В результате дифференциальное уравнение, описывающее аналоговый фильтр, заменяется на разностное, описывающее цифровой фильтр. Эта операция приводит к замене комплексной переменной s в передаточной функции аналогового фильтра на комплексную переменную z в передаточной функции цифрового фильтра.

s=f(z) (3.4)

Очевидно, различные методы численного интегрирования дают различные функции перехода и, следовательно, различные результирующие цифровые фильтры. Наиболее простой является аппроксимация Эйлера. В этом случае производная по времени непрерывной функции dy/dt аппроксимируется конечной разностью вида:

(3.5)

где: Т=t – интервал дискретизации

y(n)=y(t)|_t=nT (3.6)

для всех целых значений n.

В операторной форме уравнения (3.5) и (3.6) дают

s=≡ƒ(z) (3.7)

Отсюда

z = (3.8)

Метод инвариантного преобразования (инвариантности) импульсивной характеристики

Метод синтеза цифровых фильтров, основанный на использовании импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа, называют методом инвариантного преобразования (инвариантности) импульсной характеристики. Для более наглядного представления эта процедура приведена на рис.3.5. Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика h(n) результирующего цифрового фильтра представляет собой дискретизированную импульсную характеристику h(t) соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

, (3.13)

где Т – интервал дискретизации.

Процедура расчета по методу инвариантного преобразования импульсной характеристики.

Применяя затем к импульсной характеристике цифрового фильтра z-преобразование, можно найти передаточную функцию и составить алгоритм цифровой фильтрации.

Определим необходимую для данного метода замену комплексной переменной s на z в передаточной функции аналогового фильтра (процедуру перехода).Для этого разложим передаточную функцию Н(s) исходного аналогового фильтра на простые дроби:

, (3.14)

где: N > M 0, b_N 0, b₀ 0, а все полюсы различны.

Кроме того, для всех ί = 1,2…, N, представляет собой ί- ый полюс аналогового фильтра, а _i - вычет функции Н(s) в полюсе . Импульсную характеристику h(t) аналогового фильтра можно получить, если найти обратное преобразование Лапласа выражения (3.14). В результате получим:

, (3.15)

Подставив (3.15) в (3.13), получим импульсивную характеристику h(n) соответствующего цифрового фильтра:

·, (3.16)

Передаточная функция Н(z) результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения z-преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (3.16), следующим образом:

·.

Изменив порядок суммирования и просуммировав по n, получим:

. (3.17)

Сравнивая выражения (3.14) и (3.17), можно получить соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики:

, (3.18)

где – полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра.

БИХ - фильтры высоких порядков обычно реализуются на основе последовательного или параллельного соединения биквадратных блоков. Следовательно, особый интерес представляет случай N=2. В этом случае преобразование (3.17) имеет вид

Если полюсы и - комплексно-сопряженные, то и также будут комплексно-сопряженными и последнее выражение сводится к следующему:

где и - действительная и мнимая части ;

и - действительная и мнимая части ;

* - обозначает “комплексно-сопряженное”

Из передаточной функции можно легко получить частотную характеристику Н(e^jθ) цифрового фильтра, а из нее – амплитудно-частотную |Н(e^jθ)| и, если необходимо, фазовую характеристики. Напомним, что Н|(e^jθ)| – периодическая функция переменной θ с периодом 2π, а амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра |K(jω)| – непериодическая. Основное различие в свойствах аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от характеристик исходного аналогового фильтра в точках θ=π или ω=, где Т – интервал дискретизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнется в точке, близкой к θ=π. В противном случае отклонение начнется значительно раньше. Частоты среза цифровых фильтров располагаются в точках:

θ_с= ω_с Т,

где ω_с – частота среза аналогового фильтра.

Эти частоты среза повторяются в соответствии с соотношением:

θ_с k2π,

где k – любое целое число.

Так как импульсная характеристика h(n) цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики, фактически является дискретизированным аналогом импульсной характеристики аналогового фильтра h(t), то частотная характеристика цифрового фильтра повторяется с периодом, равным частоте дискретизации (рис. 3.5`):

|H(f)|

частота

|H(f)|

f_g 2f_g частота

или с учетом того, что θ = ωT (цифровая частота)

(3.19)

При этом возникает эффект наложения, приводящий к отклонению амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра от характеристики исходного аналогового, о чем уже упоминалось выше. Если частота дискретизации достаточно велика, то эффект наложения будет незначительным.

Подставляя s=jω в уравнение (3.19), получим

или

. (3.20)

Данные уравнения устанавливают соотношение между передаточными функциями цифрового и соответствующего аналогового фильтра для случая инвариантности их импульсных характеристик.

Исследование метода инвариантности на соответствие двум необходимым условиям процедуры перехода (3.2) и (3.3) показывает, что горизонтальная полоса шириной в s-плоскости отображаются соответственно на всю z-плоскость, т.е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части z-плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось – в единичную окружность. Поэтому все сложные полосы из s-плоскости шириной будут при отображении накладываться друг на друга в z-плоскости (рис.3.6).

Re[S] Re[Z]

Рис. 3.6 Свойства процедуры перехода на основе инвариантности импульсной характеристики

Отсюда следует, что для того, чтобы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона . Другими словами, из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для аналоговых фильтров с существенно ограниченной частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию:

|H(jω)|0 для |ω|>ω_в,

т.е. в случае нижних частот и полосовых, с достаточно резким срезом АЧХ.

Метод билинейного Z-преобразования

Для исключения эффекта наложения, присущего методу инвариантного преобразования импульсной характеристики, необходимо определить однозначное непрерывное отображение из s-плоскости в z-плоскость. Одним из таких преобразований является билинейное z-преобразование, при котором для преобразования характеристики аналогового фильтра H(s) в характеристику эквивалентного цифрового фильтра применяется следующая схема:

где или

С помощью несложных преобразований можно найти обратное соотношение:

или

.

Для билинейного z-преобразования выполняются оба условия перехода. В этом случае мнимая ось I_m[s] s-плоскости полностью отображается в единичную окружность на z-плоскости, а левая полуплоскость s-плоскости отображается на z-плоскости внутрь единичного круга. Другими словами, физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр преобразуется с помощью билинейного преобразования в физически реализуемый устойчивый цифровой фильтр.

I_m[s] I_m[z]

Re[s] Re[z]

Можно также показать, что билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в z-плоскости соответствует только одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства следует, что при билинейной процедуре преобразования отсутствует эффект наложения.

Методики расчета ЦФ на основе метода билинейного преобразования сводится к нахождению подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применения к ней соответствующей замены комплексной переменной для получения передаточной функции Н(z) требуемого цифрового фильтра

,

При этом преобразовании, как уже отмечалось, будут сохраняться частотная характеристика и свойства устойчивости аналогового фильтра.

Тем не менее, следует отметить, что это не означает того, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра будут полностью идентичными. Одинаковой на самом деле оказывается только их «форма». Это объясняется тем, что цифровая частота θ=Т и аналоговая частота ω связаны нелинейным соотношением:

, или

Действительно, подставляя в выражение

, и ,

получим

Отсюда легко получить предыдущее выражение.

Рис. Связь между аналоговой и цифровой частотой, иллюстрирующая эффект деформации

Связь аналоговой частоты и цифровой в этом случае почти линейна при малых значениях , но становится нелинейной при больших значениях , что приводит к искажению (или деформации) цифровой частотной характеристики. Для компенсации этого эффекта аналоговый фильтр (его одна или несколько критических частот) обычно предварительно деформируется перед применением билинейного преобразования. Например, при разработке фильтра нижних частот предварительной деформации подвергается частота среза или граничная частота:

где - заданная частота среза;

- деформированная частота среза;

или

T - интервал дискретизации

Несмотря на это метод билинейного преобразования дает лучшие результаты перехода от аналоговых фильтров к цифровым по сравнению с методом численного интегрирования и методом инвариантности импульсной характеристики, и является, пожалуй, самым важным методом получения коэффициентов БИХ - фильтров.

Для стандартных частотно-избирательных БИХ – фильтров можно следующим образом обобщить порядок применения билинейного преобразования.

1. На основе требований к цифровому фильтру определить нормированный аналоговый фильтр-прототип с передаточной функцией H(s).

2. Определить и деформировать граничные или критичные частоты нужного фильтра. Для нижних или верхних частот существует единственная граничная частота (частота среза) . Для полосовых и режекторных фильтров имеется верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания и , каждую из которых необходимо деформировать (могут также задаваться граничные частоты полосы затухания ):

3. Денормировать аналоговый фильтр-прототип, заменив s в передаточной функции H(s) с помощью одного из следующих преобразований (в зависимости от требуемого фильтра):

- нижних частот в нижних частотах

- нижних частот в верхних частотах

- нижних частот в полосовой

- нижних частот в режекторный

;

4. Применить билинейное z-преобразование и получить передаточную функцию нужного цифрового фильтра H(z), заменив s в денормированной передаточной функции H`(s):

На практике БИХ- фильтры высоких порядков (например N>3), как уже отмечалось, реализуются последовательным(накладным) или параллельным соединением фильтрующих звеньев второго и/или первого порядка, что позволяет снизить влияние конечной разрядности на быстродействие фильтра. С этой целью после преобразования аналогового фильтра в дискретную форму полученную передаточную функцию H(z), если она имеет большой порядок, нужно выразить в фиксированном виде (для каскадной реализации) или как сумму членов второго и/или первого порядка (для параллельной реализации).

Следует отметить, что деформирование частотной шкалы и билинейное z-преобразование для повышения вычислительной эффективности можно объединить в одно преобразование:

Далее, для ФНЧ и ФВЧ порядок H(z) равен порядку передаточной функции H(s) аналогового фильтра. Например, если функция H(z) получена из функции H(s) аналогового фильтра второго порядка, то и H(z) также будет описывать систему второго порядка. Для полосовых и режекторных(заградительных) фильтров порядок H(z) будет вдвое больше порядка H(s).

Кроме того, на практике иногда бывает так, что передаточную функцию H(s) существующего аналогового фильтра нужно преобразовать в функцию эквивалентного фильтра дискретного времени. В подобных ситуациях аналоговая передаточная функция реального фильтра уже дана, так что билинейное z-преобразование можно применять сразу после предварительной деформации и прямого масштабирования характеристики аналогового фильтра в характеристику цифрового фильтра.

Метод согласованного Z-преобразования.

Данный метод основан на непосредственном отображении полюсов и нулей из s-плоскости в полюсы и нули на z-плоскости. При этом полюс (или нуль) находящийся в точке s=-a плоскости s отображается в полюс (или нуль) в точке z = e^aT плоскости z.Таким образом, при согласованном z-преобразовании отображающая замена будет иметь вид:

где Т-период дискретизации

Передаточная функция аналоговых фильтров высокого порядка имеют несколько полюсов и/или нулей, которые нужно отобразить из s на z плоскость в этом случае передаточную функцию можно записать в следующем виде:

где z_k и p_k – нули и полюсы H(s).

Затем к каждому сомножителю применяется согласованное z-преобразование:

Для случая M=N=2 аналоговая и передаточная функция сводится к виду:

Применяя к H(s) согласованное z-преобразование получим:

Если полюсы и нули звена второго порядка являются комплексно-сопряженными, тогда p₂=p₁^* и z₂=z₁^* и правая часть последнего уравнения сводится к следующему

где и , и - действительная и мнимая части z₁ и p₁ соответственно.

Более удобным для практического применения является представление передаточной функции H(s) в виде рациональной дроби:

В такой форме полюсы и нули H(s) можно найти по следующим выражениям:

Определив действительную и мнимую части нулей и полюсов H(s), с помощью приведенных выше формул можно вычислить передаточную функцию H(z) эквивалентного цифрового фильтра

Если полюсы (или нули) комплексные, то это выражение можно переписать следующим образом:

В этом случае, полюсы цифрового фильтра оказываются идентичными полюсам, получаемым при инвариантном преобразовании импульсной характеристики того же аналогового фильтра, однако нули существенно различаются.

Данный метод довольно прост в использовании, однако во многих случаях он не применим. Так, и/или частоты аналогового фильтра, соответствующие его нулям, превышают половину частоты дискретизации(частоты Найквиста), то положение нулей цифрового фильтра будет существенно искажено эффектом наложения.

Согласованное z-преобразование неприменимо также в случае, когда передаточная функция аналогового фильтра имеет только полюсы. Передаточная функция ЦФ также будет иметь только полюсы, но во многих случаях она не будет соответствовать исходному аналоговому фильтру.

Вообще же использование инвариантного преобразования импульсной характеристики или билинейного z-преобразования предпочтительнее использования согласованного z-преобразования.

Следует отметить, что при разработке фильтров данным методом важно помнить, что для того чтобы коэффициенты фильтра были действительными, полюса и нули должны либо быть действительными, либо образовывать комплексно-сопряженные пары.

30. Частотные преобразования, применяемые при разработке БИХ-фильтров на основе билинейного z-преобразования.

    Метод билинейного Z-преобразования

    Для исключения эффекта наложения, присущего методу инвариантного преобразования импульсной характеристики, необходимо определить однозначное непрерывное отображение из s-плоскости в z-плоскость. Одним из таких преобразований является билинейное z-преобразование, при котором для преобразования характеристики аналогового фильтра H(s) в характеристику эквивалентного цифрового фильтра применяется следующая схема:

где или

С помощью несложных преобразований можно найти обратное соотношение:

или

.

Для билинейного z-преобразования выполняются оба условия перехода. В этом случае мнимая ось I_m[s] s-плоскости полностью отображается в единичную окружность на z-плоскости, а левая полуплоскость s-плоскости отображается на z-плоскости внутрь единичного круга. Другими словами, физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр преобразуется с помощью билинейного преобразования в физически реализуемый устойчивый цифровой фильтр.

I_m[s] I_m[z]

Re[s] Re[z]

Можно также показать, что билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в z-плоскости соответствует только одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства следует, что при билинейной процедуре преобразования отсутствует эффект наложения.

Методики расчета ЦФ на основе метода билинейного преобразования сводится к нахождению подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применения к ней соответствующей замены комплексной переменной для получения передаточной функции Н(z) требуемого цифрового фильтра

,

При этом преобразовании, как уже отмечалось, будут сохраняться частотная характеристика и свойства устойчивости аналогового фильтра.

Тем не менее, следует отметить, что это не означает того, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра будут полностью идентичными. Одинаковой на самом деле оказывается только их «форма». Это объясняется тем, что цифровая частота θ=Т и аналоговая частота ω связаны нелинейным соотношением:

, или

Действительно, подставляя в выражение

, и ,

получим

Отсюда легко получить предыдущее выражение.

Рис. Связь между аналоговой и цифровой частотой, иллюстрирующая эффект деформации

Связь аналоговой частоты и цифровой в этом случае почти линейна при малых значениях , но становится нелинейной при больших значениях , что приводит к искажению (или деформации) цифровой частотной характеристики. Для компенсации этого эффекта аналоговый фильтр (его одна или несколько критических частот) обычно предварительно деформируется перед применением билинейного преобразования. Например, при разработке фильтра нижних частот предварительной деформации подвергается частота среза или граничная частота:

где - заданная частота среза;

- деформированная частота среза;

или

T - интервал дискретизации

Несмотря на это метод билинейного преобразования дает лучшие результаты перехода от аналоговых фильтров к цифровым по сравнению с методом численного интегрирования и методом инвариантности импульсной характеристики, и является, пожалуй, самым важным методом получения коэффициентов БИХ - фильтров.

Для стандартных частотно-избирательных БИХ – фильтров можно следующим образом обобщить порядок применения билинейного преобразования.

5. На основе требований к цифровому фильтру определить нормированный аналоговый фильтр-прототип с передаточной функцией H(s).

6. Определить и деформировать граничные или критичные частоты нужного фильтра. Для нижних или верхних частот существует единственная граничная частота (частота среза) . Для полосовых и режекторных фильтров имеется верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания и , каждую из которых необходимо деформировать (могут также задаваться граничные частоты полосы затухания ):

7. Денормировать аналоговый фильтр-прототип, заменив s в передаточной функции H(s) с помощью одного из следующих преобразований (в зависимости от требуемого фильтра):

- нижних частот в нижних частотах

- нижних частот в верхних частотах

- нижних частот в полосовой

- нижних частот в режекторный

;

8. Применить билинейное z-преобразование и получить передаточную функцию нужного цифрового фильтра H(z), заменив s в денормированной передаточной функции H`(s):

Пример. Фильтр нижних частот. Требуется разработать цифровой фильтр нижних частот, аппроксимирующий следующую передаточную функцию H(s) аналогового фильтра

Используя метод билинейного z-преобразования, получим передаточную функцию H(z) цифрового фильтра, если частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, а частота дискретизации равна 1,28кГц.

Решение. Предварительно деформируем частоту среза аналогового фильтра рад /с:

где

Промасштабированный аналоговый фильтр характеризуется передаточной функцией

После применения билинейного z-преобразования получим:

Отсюда легко найти собственные разностные уравнения и структурную схему полученного цифрового фильтра.