37. Погрешности дискретизации. Выбор частоты дискретизации в реальных условиях. Эффект наложения спектров

Из теоремы Котельникова следует, что форма спектра сохраняется в диапазоне частот выше удвоенной максимальной частоты в спектре исходного сигнала, т.е. при выборе частоты дискретизации (в том случае, когда спектр преобразуемого сигнала резко ограничен частотой ). При неправильном выборе частоты дискретизации составляющие спектра, превышающие частоту нельзя будет отличить от составляющих, лежащих в интервале частот от 0 до , что приводит к возникновению эффекта, известного как наложение спектров (aliasing).

В самом деле, нетрудно показать, что

если выборка осуществляется в моменты времени . В этом случае для любой частоты из диапазона 0 - имеется набор частот, замаскированных под

Влияние дискретизации будет проявляться в том, что энергия составляющих с частотами выше будет отражена в главный диапазон энергетического спектра симметрично относительно

Дискретизация узкополосных сигналов

Для достаточно узкополосных сигналов операцию дискретизации можно выполнять с помощью самих АЦП и совмещать таким образом с операцией квантования. Основной закономерностью такой дискретизации является то, что за счет конечного времени одного преобразования и неопределенности момента его окончания, зависящего в общем случае от параметров входного сигнала, не удается получить однозначного соответствия между значениями отсчетов и моментами времени, к которым их следует отнести. В результате при работе с изменяющимися во времени сигналами возникают специфические погрешности, динамические по своей природе, для оценки которых вводят понятие апертурной неопределенности, характеризующейся обычно апертурным временем.

Апертурным временем t_a называют время, в течение которого сохраняется неопределенность между значением выборки и временем, к которому она относится.

Дискретизация с помощью самого АЦП приводит к существенному расхождению требований между быстродействием АЦП и периодом дискретизации. Это расхождение достигает 2...3 порядков и сильно усложняет и удорожает процесс дискретизации, так как даже для сравнительно узкополосных сигналов требует весьма быстродействующих АЦП. Для достаточно широкого класса быстро изменяющихся сигналов эту проблему решают с помощью устройств выборки-хранения, имеющих малое апертурное время.

Выбор частоты дискретизации на практике

На практике рекомендуется частоту дискретизации выбирать такой, чтобы заведомо исключить составляющие с частотами выше . Другими словами, частота дискретизации должна выбираться таким образом, чтобы частота наложения , равная , была заведомо больше максимально ожидаемой частоты в спектре исследуемого сигнала. В общем случае рекомендуется выбирать частоту наложения в 1.5 - 2 раза больше максимальной частоты в спектре, а значит, частоту дискретизации - в 3 - 4 раза.

Следует отметить, что на практике дискретизация осуществляется последовательностью импульсов конечной длительности. Таким импульсам соответствуют средние значения преобразуемой функции в течение их длительности, рис.3.10.

Рис.3.10. Дискретизация сигнала последовательностью импульсов конечной длительности

В этом случае преобразование Фурье дискретизированного сигнала будет иметь следующий вид /6,7/:

(3.9)

При этом предполагается, что амплитуда импульсов равна 1.

Как видно из выражения (3.9), спектр дискретизированного сигнала представляет собой последовательность спектров исходного сигнала , сдвинутых один относительно другого на и убывающих по закону . Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран из условия , то отдельные спектры не перекрываются и могут быть разделены с помощью фильтров, рис.3.11.

Рис.3.11. Спектры исходного (а) и дискретизированного (б) сигналов

С уменьшением отношения лепестки спектра убывают медленнее и в пределе, при , спектр приобретает строго периодическую структуру.

Так как модуль спектра исходного сигнала изменяется в раз, то, очевидно, влиянием ширины импульсов дискретизации пренебречь нельзя. Исследуем этот вопрос более подробно. Для того, чтобы влияние было меньше одного процента для всех частот вплоть до , необходимо выполнение неравенства /7/:

или, что то же самое (для )

Отсюда получим, что т.е. ширина импульса дискретизации должна быть меньше 16% интервала дискретизации.

Если погрешность из-за конечной длительности импульса дискретизации ограничить величиной 0,1%, то его ширина не должна превышать 4% интервала дискретизации.