Взвешивание. Свойства весовых функций
Для классификации функций окна (весовых функций) используется несколько показателей оценки их качества (общее число их 9). Так, для количественной оценки ширины полосы главного лепестка используются два показателя. Традиционным является ширина полосы на уровне половинной мощности, т. е. на уровне, который на 3дБ ниже максимума главного лепестка. В качестве второго показателя используется эквивалентная шумовая полоса. Данная величина определяется как полоса идеального (с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой) фильтра, квадрат модуля частотной характеристики которого равен максимальному значению этого параметра для реального фильтра и значение среднего квадрата выходного сигнала которого равно значению среднего квадрата сигнала на выходе реального фильтра при воздействии на его вход белого шума (рис. 1.44).
Эквивалентная шумовая полоса позволяет сравнивать между собой различные оконные функции. Чем меньше эквивалентная шумовая полоса, тем лучше весовая функция.
Эквивалентная шумовая полоса в рассматриваемом случае определяется следующим выражением
(2.225)
Рис. 1.44. Эквивалентная шумовая полоса. Площадь под кривой идеальной характеристики равна площади под кривой реальной характеристики
Как уже отмечалось, при взвешивании отсчеты на краях выборки обнуляются, что приводит к потере информации. Для решения данной проблемы используется метод Уэлча. Если перекрытие отдельных сегментов составляет 50–75 %, то в этом случае в спектре будет отражено большинство особенностей, содержащихся в обрабатываемых данных.
Два показателя используются для оценки характеристик боковых лепестков. Один из них – это пиковый (или максимальный) уровень боковых лепестков, который позволяет судить о том, насколько хорошо окно подавляет просачивание. Второй – это скорость спадания уровня боковых лепестков, который характеризует скорость, с которой снижается уровень боковых лепестков, ближайших к главному лепестку. По сути дела, скорость спадания уровня боковых лепестков зависит от числа используемых отсчетов N и с увеличением N стремиться к некоторой асимптотической величине, которую принято выражать в децибелах на октаву изменения ширины полосы частот.
Следует отметить, что в настоящее время известно более двух десятков оконных функций с различными характеристиками.
Математические функции, описывающие четыре наиболее популярные оконные функции (Хемминга, Ханна, Блэкмана и минимальная 4-членная Блэкмана-Хэрриса), представляют собой следующее:
Хемминга (приподнятый косинус):
(2.226)
Ханна (косинус-квадрат):
(2.227)
Блэкмана:
(2.228)
Минимальная 4-х членная Блэкмана-Хэрриса:
(2.229)
где
На рис. 1.45 представлены частотные характеристики прямоугольного окна, окон Хемминга и Блэкмана для N = 256.
Оцифрованные оконные функции обычно вычисляются предварительно и сохраняются в памяти с целью минимизации вычислений непосредственно при реализации БПФ.
Рис. 1.45. Частотные характеристики прямоугольного окна, окна Хемминга и Блэкмана для N = 256
Основные
характеристики окон, представленных
выражениями (1.227)–
1.229) приведены в табл. 1.10. Значения,
помещенные в колонке «Эквивалентная
ширина полосы», нормированы относительно
частотного разрешения ДПФ, равного
Гц.
Таблица 1.10
Характеристики наиболее распространенных окон
|
Функция окна |
Ширина полосы по уровню 3дБ |
Максимальный уровень боковых лепестков, дБ |
Скорость спадания боковых лепестков, дБ/октава |
Эквивалентная ширина полосы |
|
Прямоугольная |
0,89 |
–13 |
–6 |
1,00 |
|
Хемминга |
1,30 |
–43 |
–6 |
1,36 |
|
Ханна |
1,44 |
–32 |
–18 |
1,50 |
|
Блэкмана |
1,68 |
–58 |
–18 |
1,73 |
|
Минимальная 4-х членная Блэкмана-Хэрриса |
1,90 |
–92 |
–6 |
2,00 |
Из всех приведенных в табл. 1.10 окон самый узкий главный лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна, но зато у него самый высокий уровень боковых лепестков. Окно типа «косинус квадрат» названо в честь австрийского метеоролога Юлиуса фон Ханна. Это окно часто ошибочно называют окном Хэннинга. Оно примечательно тем, что его легко реализовать в частотной области всего лишь с помощью трех операций сложения и двух операций сдвига, что, по сути дела, сводится к умножению на коэффициенты 1/2 и 1/4 на каждой частоте. Окно типа приподнятой косинусоиды было введено Р. У. Хеммингом и поэтому называется его именем. Множители 0,54 и 0,46 были выбраны для того, чтобы практически полностью устранить максимальный боковой лепесток частотной функции прямоугольного окна.
В разделе, посвященном разработке цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой, будут рассмотрены и некоторые другие оконные функции.