8. Передаточная функция дискретных систем. Диаграммы нулей и полюсов. Условие устойчивости.

Как известно, выходная последовательность y(n) линейной дискретной системы с постоянными параметрами определяется сверткой входной последовательности и импульсной характеристики системы h(n).

(1.59)

Найдём z-преобразование данного выражения, пользуясь его свойствами

(1.60)

где Y(z), X(z) и H(z)  z-преобразование последовательностей y(n), x(n)и h(n) соответственно.

Функцию

(1.61)

для физически реализуемых систем называют передаточной или системной функцией линейной дискретной системы с постоянными параметрами.

Очевидно также, что

(1.62)

т. е. передаточная функция линейной дискретной системы представляет собой отношение z-преобразования выходной последовательности к z-пре­образованию входной при нулевых начальных условиях.

Пример 1. Найти передаточную функцию цифровой системы, описываемой разностным уравнением

Решение. Используя известные свойства z-преобразования, получим:

Отсюда

Таким образом, по заданному набору разностных уравнений, описывающих некоторую систему, можно определить её передаточную функцию, а по известной передаточной функции H(z) можно найти разностное уравнение, характеризующее данную систему. Наконец, если система описывается линейным разностным уравнением общего вида

(1.63)

то её передаточная функция определяется выражением

(1.64)

Так как данное выражение представляет собой отношение полиномов, то для физически реализуемых систем его можно представить в следующем виде:

(1.65)

или

(1.66)

где  – постоянная величина, z_k– нули, а p_k – полюсы функции H(z).

Следует отметить, что для цифровых фильтров предпочтительнее использовать первое выражение для H(z), так как регистр сдвига или элемент линии задержки с отводами реализует оператор z^–1.

Из последних выражений следует, что с точностью до скалярного множителя  передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в z или в z^–1-плоскости.

Для физически реализуемой и устойчивой системы модули полюсов её передаточной функции должны удовлетворять условию:

в z-плоскости (1.67)

или

в z^–1-плоскости, (1.68)

где k = 1, 2, ... N.

Эквивалентным требованием является расположение полюсов внутри единичной окружности на z-плоскости или вне этой окружности на z^–1-плоскости. С учётом этих требований при описании передаточной функции диаграммой нулей и полюсов в z или z^–1-плоскости удобно изображать и единичную окружность с тем, чтобы было видно расположение полюсов относительно этой окружности.

Если полюс лежит за пределами единичной окружности на z-плос­кости, то система будет неустойчивой. На практике система с полюсом, лежащем на единичной окружности, также считается неустойчивой или потенциально неустойчивой, поскольку незначительное возмущение или ошибка обязательно приведут систему в состояние неустойчивости. Исключение составляет только тот случай, когда полюс на единичной окружности совпадает с нулем, так что его действие компенсируется. Импульсная характеристика неустойчивой системы будет бесконечно расти со временем.

Однако, несмотря на кажущуюся простоту проверки на устойчивость (найти положение полюсов передаточной функции), на практике определение положения полюсов может оказаться совсем не простой задачей.

Следует отметить, что полюсы и нули передаточной функции H(z) могут быть действительными или комплексными. Если они комплексные, они идут комплексно-сопряженными парами, чтобы коэффициенты a_k и b_k были действительными. Очевидно также, что если известны положения полюсов и нулей функции H(z), то и саму функцию H(z) можно восстановить с точностью до константы.

Пример 1.7. Выразить следующую передаточную функцию через ее полюсы и нули, построить диаграмму нулей и полюсов и определить устойчивость соответствующей дискретной системы:

Решение. Для удобства выразим H(z) через положительные показатели степени z, а затем разложим ее так, чтобы можно было найти полюсы и нули.

Если умножить числитель и знаменатель на z³– самую высокую степень z, получим

Рис. 1.17. Диаграмма нулей и полюсов к примеру 1.7

В результате разложения будем иметь:

Как видно, полюсы находятся в точках и в точке Нули – в точках и . Соответствующая диаграмма нулей полюсов выглядит следующим образом (рис. 1.17).

Как видно, все полюсы находятся внутри единичной окружности на z-плоскости и, следовательно, дискретная система с данной передаточной функцией является устойчивой.

Пример 1.8. Найти передаточную функцию H(z) линейной дискретной системы, диаграмма нулей и полюсов которой выглядит таким образом (рис. 1.18).

Решение. Согласно диаграмме нулей и полюсов, нули передаточной функции находятся в точках а полюсы – в точках Отсюда можно записать выражение для передаточной функции:

Данная система, как видно из диаграммы нулей и полюсов, также является устойчивой.

Рис. 1.18. Диаграмма нулей и полюсов к примеру 1.8

Передаточная функция единственным образом определяет импульсную характеристику дискретной системы и является основным аппаратом при исследовании соединений и различных форм реализации цифровых фильтров. Для нахождения однозначной выходной последовательности системы необходимо знать входную последовательность и внутренние начальные условия.