7. Обратное z-преобразование и методы его нахождения: на основе теоремы о вычетах, разложение на простые дроби и в степенной ряд.

Обратное z-преобразование позволяет определить значения дискретного сигнала по виду функции Оно может быть найдено из выражения с помощью интегральной теоремы Коши и формально определяется соотношением

(1.38)

где С – контур интегрирования с направлением обхода против часовой стрелки, расположенный в области сходимости X(z) и охватывающий на­чало координат на z-плоскости.

Обратное z-преобразование находят в основном с помощью следующих методов:

1) с использованием теоремы о вычетах;

2) разложением X(z) на простые дроби;

3) разложением X(z) в степенной ряд;

У каждого метода есть свои преимущества и недостатки. С точки зрения математической строгости метод вычетов, возможно, самый элегант­ный. Однако, метод степенных рядов лучше всего подходит для компьютерных расчетов.

Первый способ основан на известной из теории функций комплексного переменного теореме, утверждающей, что контурный интеграл, определяющий обратное z-преобразование, может быть вычислен непосредственно через вычеты, т. е.

во всех полюcах внутри окружности ], (1.49)

где

При этом вычеты комплексной функции с полюсом в точке и кратностью n определяются по известной формуле:

(1.50)

Для простого (отдельного) полюса данное выражение сводится к следующему:

(1.51)

Пример 1.2. С помощью метода вычетов найти дискретную последовательность, соответствующую следующему z-преобразованию:

При этом предположим, что контур интегрирования C – окружность

Решение. Чтобы найти обратное Z-преобразование, найдем вычеты функции которая в данном случае равна

Функция имеет полюсы в точках z = 0,75 и z = –0,5. Оба полюса лежат внутри контура интегрирования. Тогда обратное z-преобразование задается в виде:

Поскольку оба полюса простые (первого порядка), получим

Аналогичным образом

Тогда

При использовании второго способа, функцию X(z) представляют в виде разложения на элементарные дроби

(1.52)

где является вычетом функции X(z) в полюсе, расположенном в точке При этом предполагается, что полюсы различны, т. е. если

Поскольку z-преобразование – линейная операция то и обратное z-преобразование также является линейным. Это означает, что последовательность можно получить суммированием обратных z-преобразо­ваний каждого отдельного слагаемого последнего выражения.

Вычет связанный с полюсом можно найти, умножив правую и левую часть уравнения для X(z) на а затем сделав замену т. е.

для (1.53)

Тогда

(1.54)

Рассмотрим далее метод степенных рядов, применяемый для нахождения обратного z-преобразования. Если дано z-преобразование X(z), то его можно выразить через отношение двух многочленов от или, что эквивалентно, от z:

(1.55)

Это выражение можно разложить в бесконечный ряд относительно z^–1 путем деления в столбик (иногда его называют синтетическим делением):

(1.56)

В этом методе числитель и знаменатель функции X(z) сперва выражается либо через уменьшающийся показатель степени z, либо через увеличивающийся показатель степени z^–1, а затем путем деления в столбик находится частное. Проиллюстрируем этот метод.

Сравним рассмотренные методы вычисления обратного z-преобразо­вания. Ограничение метода разложения в степенной ряд состоит в том, что он не дает решения в аналитическом виде (хотя в простых случаях его можно получить), но зато он прост и пригоден для вычисления с помощью компьютера. Однако из-за его рекурсивности, необходимо внимательно следить за возможным нарастанием численных ошибок при большом числе заданных значений обратного z-преобразования.

Методы разложения на элементарные дроби и вычетов дают результаты в аналитическом виде. Главный их недостаток – необходимость разложения на множители многочлена знаменателя, т.е. находить полюсы функции X(z). Если порядок функции высокий, то поиск полюсов X(z), если функция не представлена в разложенном виде, – задача довольно трудная. Кроме того, если функция X(z) имеет полюсы высокого порядка, то оба метода могут потребовать включения операции дифференцирования высокого порядка. Однако, если нужно найти решение в аналитическом виде, то лучше выбрать метод вычетов или разложения на элементарные дроби. Последний метод особенно полезен для генерирования коэффициентов параллельных структур для цифровых фильтров. Метод вычетов также нашел широкое применение при анализе ошибок квантования в системах дискретного времени.