3. Дискретные и цифровые сигналы. Основные дискретные последовательности теории цос.

В задачах ЦОС объектом изучения являются дискретные сигналы и системы. Дискретные по времени сигналы могут иметь различную природу, но чаще всего они получаются в результате дискретизации аналоговых (непрерывных по времени) сигналов (рис. 1.3).

Дискретные сигналы в большинстве случаев описываются решётчатыми функциями где – интервал (шаг) дискретизации. Величина, обратная интервалу является частотой дискрети­зации:

(1.1)

В большинстве случаев интервал дискретизации выбирается постоянным (равномерная дискретизация), т. е.

Значения сигнала в момент времени называются его выборками или отсчётами. Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным.

Рис. 1.3. Дискретизация сигналов: ...,

При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированным временем

(1.2)

Таким образом, номер n отсчета дискретного сигнала можно интерпретировать как нормированное время.

Переход к нормированному времени позволяет рассматривать дискретный сигнал как функцию целочисленной переменной n, т.е. представлять его в виде последовательности чисел где x(n) обозначает n-й член последовательности, а индекс n может изменяться в конечных или бесконечных пределах.

При обработке сигналов в цифровых устройствах их отсчёты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Этот процесс преобразования отсчётов сигнала в числа называется квантованием по уровню с последующим кодированием.

Таким образом, сигнал, дискретный по времени и квантованный по уровню, и есть цифровой сигнал.

Операции дискретизации по времени и квантования по уровню с последующим кодированием осуществляются аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Об этом более подробно будет изложено в третьем разделе курса лекций.

Следует отметить, что учёт в цифровых приборах и системах квантованности сигналов и коэффициентов математических операций в значительной степени усложняет теоретические исследования. Поэтому при теоретических исследованиях сигналы обычно считаются дискретными, но не квантованными (шаг квантования бесконечно мал), а затем квантованность сигналов и коэффициентов учитывается при определении погрешностей, возникающих вследствие этой процедуры.

Рассмотрим некоторые широко используемые в теории цифровой обработки сигналов дискретные последовательности.

1) Дискретная дельта-функция (единичный импульс) (рис. 1.4):

(1.3)

где n = 0, 1, 2, 3, … .

Рис. 1.4. Единичный импульс

В практике исследования дискретных систем единичный импульс играет такую же роль, что и -функция в аналоговых системах.

2) Единичная последовательность (единичный скачок) (рис. 1.5):

(1.4)

где n = 0, 1, 2, 3, … .

Рис. 1.5. Единичная последовательность

3) Периодическая последовательность. Последовательность удов­летворяющая условию

(1.5)

где k и N  целые числа, называется периодической. При этом число N является периодом данной последовательности.

Очевидно, периодическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода, например,

Периодическая последовательность с периодом представлена на рисунке 1.6.

Рис. 1.6. Периодическая последовательность

По известному периоду дискретной последовательности можно определить параметр называемой основной частотой периодической последовательности.

4) Синусоидальная (косинусоидальная) последовательность играет существенную роль в цифровой обработке сигналов и в общем виде имеет следующий вид (рис. 1.7):

(1.6)

где A – амплитуда, ₀ – частота, Т – период,  – фаза, n = 0, 1, 2, … .

Рис. 1.7. Дискретная косинусоидальная последовательность

5) Экспотенциальная последовательность является наиболее важной при представлении и анализе линейных стационарных дискретных систем. В самом общем виде такая последовательность записывается в виде:

(1.7)

где n = 0, 1, 2, 3, … .

Если A и  – вещественные числа, то соответствующая последовательность также называют вещественной степенной последовательностью. Если 0 и A > 0, то значение последовательности положительны и убывают при возрастании n, как на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Дискретная убывающая экспоненциальная последовательность

Когда –1<  < 0, последовательность будет знакопеременной, а ее абсолютные значения также будут убывающими. При последовательность по абсолютной величине с ростом n будет возрастать.

Экспотенциальная последовательность с комплексной  имеет вещественную и мнимую части, являющиеся взвешенными синусоидами. В этом случае, если и то исходную последовательность можно представить одним из следующих способов:

(1.8)

или

(1.9)

Это последовательность осцилирует с экспотенциально растущей огибающей, если и с экспотенциально убывающей огибающей, если

Когда последовательность называется комплексной экспотенциальной последовательностью:

(1.10)

Как видно, в этом случае вещественная и мнимая части последовательности в зависимости от n меняются синусоидально. По аналогии с непрерывным временем величину называют частотой (круговой) комплексной синусоиды или комплексной экспоненты, а – ее фазой. Так как n – безразмерное целое число, то должна измеряться в радианах. Следовательно, для дискретной экспоненты единицей частоты будет радиан на один отсчет (при этом n представляет собой последовательностей отсчетов).

Тот факт, что в формуле (1.10) переменная n всегда принимает только целые значения, приводит к некоторым существенным отличиям в свойствах дискретных и непрерывных комплексных экспотенциальных и синусоидальных последовательностей. Это отличие наиболее заметно на частоте В этом случае:

(1.11)

Более общим является тот факт, что дискретные комплексные экспотенциальные последовательности с частотами где m – любое целое число, неотличимы одна от другой. Аналогичное утверждение справедливо и для синусоидальных последовательностей:

(1.12)

Все это приводит к тому, что при рассмотрении комплексных экспотенциальных последовательностей вида или вещественных синусоидальных последовательнстей типа необходимо ограничиваться частотами, лежащими в интервале длины 2, например или

Следующее важное отличие дискретных комплексных экспонент и синусоид от непрерывных относится к их периодичности. как известно, непрерывные синусоидальные и комплексные эскпотенциальные сигналы являются периодическими функциями, период которых равен 2, деленному на частоту. Для дискретных периодических последовательностей, как следует из определения, их период N – обязательно целое число. Поверяя это условие для дискретных синусоид, получим

(1.13)

Отсюда следует, что

(1.14)

где k = 0, 1, …, N – 1.

Аналогичное утверждение справедливо и для комплексной экспотенциальной последовательности Она будет периодичной с периодом N только в том случае, если

(1.15)

Это равенство верно тогда и только тогда, когда как и в соотношении (1.14). таким образом, дискретные комплексная экспотенциальная и синусоидальная последовательности не обязательно изменяются периодично в зависимости от n с периодом Свойство их периодичности зависит от значения частоты

Следует еще раз подчеркнуть тот факт, что период дискретной синусоидальной или комплексной экспотенциальной последовательности должны быть только целым числом. Если не целое, но рациональное число, то соответствующая синусоидальная последовательность будет периодической, однако с периодом, большим . Если не рационально, то синусоидальная и комплексная экспотенциальная последовательности вовсе не будут периодическими.

Для иллюстрации этого рассмотрим сигнал Его период N равен 8. Данный сигнал действительно периодичен, так как ра­венство

выполняется для всех целых n, что и требуется в определении периодичности дискретных сигналов.

Однако в отличие от непрерывных сигналов увеличение частоты дискретной синусоиды не обязательно влечет уменьшение его периода. Для подтверждения этого рассмотрим последовательность имеющую бóльшую частоту, чем последовательность Очевидно, что период отличен от 8. Действительно:

В то же время легко показать, что период данного сигнала равен 16. Следовательно, увеличение частоты от до приводит к увеличению периода сигнала. Это происходит из-за того, что дискретный сигнал определен только при целых значениях n. Именно это обстоятельство, как уже было отмечено, приводит к тому, что некоторые дискретные синусоидальные сигналы могут вообще не иметь периода. Например, какое бы целое число мы не взяли, равенство будет нарушаться при некоторых целых значений переменной n.

Из условий (1.12) и (1.14) следует также, что существует только N различных значений частоты, при которых комплексная экспотенциальная последовательность имеет период N, а именно k = 0, 1, …, N – 1. Это свойство дискретных комплексных экспотенциальных и синусоидальных последовательностей носит основополагающий характер как для теории, так и для разработки численных алгоритмов в дискретном преобразовании Фурье.

Необходимо далее отметить, что верхние и нижние частоты также по-разному проявляются в непрерывных и дискретных сигналах. При росте частоты ₀ непрерывный сигнал осциллирует все быстрее и быстрее. Дискретный синусоидальный сигнал также увеличивает скорость осциллирования, при возрастании от  до 2 его колебания замедляются.

Фактически, вследствие периодичности синусоидального и комплексного экспотенциального сигналов относительно , частоты и не отличаются друг от друга. Таким образом, частоты близкие к 0, ничем не отличаются от частот, близких к 2. Как следствие, для дискретных синусоидальных и комплексных (экспотенциальных) сигналов значение частоты в окрестности 2k при любом значении k принято называть нижними, в то время как ее значение в окрестности ( + 2k) называют верхними (соответственно, быстро осциллирующими).

6) Последовательность, сдвинутая по оси n. Последовательность образуется при сдвиге исходной последовательности на отсчетов вправо, если и влево, если Так, например, если имеется последовательность

т. е. x(0) = 3; x(1) = 2; x(2) = 1; x(3) = 1; x(4) = 1, то последовательности y1(n) = x(n – 2) и y₂(n) = x(n + 2) будут выглядеть таким образом (рис. 1.10).

Произвольную последовательность можно выразить в виде линейной комбинации (суммы) сдвинутых единичных импульсов, взятых с соответствующими весами:

(1.15)

Рис. 1.10. Последовательность x(n) (а), сдвинутая вправо (б) и влево (в)

Например, рассмотренная выше последовательность может быть пред­ставлена в виде

Для более наглядного представления и получения новых последовательностей стандартные последовательности довольно часто комбиниру­ются (складываются, умножаются и т. п.). Например, экспотенциальную последовательность, члены которой равны нулю при n < 0, можно определить выражением (1.5). Однако более просто такая последовательность задается как выражение