Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение: определение, порядок, общее решение, общий интеграл, начальные условия, частное решение, частный интеграл. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (формулировка).
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и однородные уравнения. Метод решения. Понятие изоклин и интегральных кривых.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Методы решения: замена неизвестной функции, вариация произвольной постоянной.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения порядка “n” (формулировка). Общее решение, общий интеграл. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Понятие линейно независимой на интервале системы функций. Определитель Вронского. Примеры. Необходимое условие линейной зависимости системы функций (доказательство).
Линейное однородное дифференциальное уравнение “n”–го порядка. Фундаментальная система решений. Необходимое и достаточное условия линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (Л.Н.Д.У.), свойства решений Л.Н.Д.У. Теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Система Лагранжа.
Линейные однородные дифференциальные уравнения “n”–го порядка с постоянными коэффициентами: общее решение; обоснование структуры общего решения для случая действительных и различных корней характеристического уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения “n”–го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: отыскание общего и частного решений.
Нормальные системы дифференциальных. уравнений. Решение систем 2–го и 3–го порядков с простым спектром характеристических чисел.
Вопросы к экзамену по разделу: “ Специальные главы математики” (семестр 3)
Числовые и функциональные ряды
Числовой ряд: определение, сумма, частичная сумма, остаток, сходимость. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказательство).
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
Функциональные ряды. Точка и область сходимости. Степенные ряды.
Теорема о мажорируемости степенного ряда.
Действия со степенными рядами: интегрирование и дифференцирование степенного ряда.
Теорема Абеля. Интервал и область сходимости степенного ряда.
Ряд Тейлора. Теоремы об условиях разложимости функции в ряд Тейлора.
Разложение в ряд Маклорена пяти основных элементарных функций. Доказать, что остаток формулы Маклорена для функций
стремится к нулю при
.
Применение рядов в приближённых вычислениях, при решении дифференциальных уравнений и вычислении пределов.