26.Основные понятия мат.Статистики.

Мат.ст-ка изучает методы сбора,систематизации и обработки наблюдений с целью выявления стат.закономерностей.В мат.ст-ке существуют две основные задачи: 1.Указать способы сбора и группировки стат.сведений,полученных в рез-те наблюдений или в рез-те экспериментов.

2.Разработка методов анализа стат.данных в заисимости от целей исследования: -)оценка неизвестной вероятности события; -)оценка неизвестной функции распределения; -)оценкан неизвестных параметров распределения,вид которого известен; -)оценка завис-ти ф-ции распр-я от ф-ции распр-я др.с.в.(оценка условных распр-й); -)проверка стат.гипотез о виде неизв.ф-ции распр-я или о величине параметров распр-я,вид которого известен.

Сущ-ют след.методы сбора информации: 1.Метод сплошных набл-ий. 2.Выборочный метод.

Опр1.Генеральная сов-ть - исходная сов-ть всех исследованных объектов.

Опр2.Выборка-часть ген.сов-ти,отобранная случ.образом и наиб.полно представляющая ген.сов-ть.

Опр3.Объем выборки-число элементов выборки.

Опр4.Вар.ряд-выборка,упорядоч.по возрастанию.

Опр5.Размах выборки-разница м/у мах и мин. элементами выборки.

Пр.: -1,5,2,-1,5

n=5 (объем выборки) размах=5-(-1)=6. вар.ряд: -1,-1,2,5,5

Опр.6.Частота варианты ni-число повторений варианты xi в общем объеме выборки, Eni=n.

Опр.7.Относит.частот варианты wi-доля варианты xi в общем объеме выборки,wi=ni/n, E wi=1.

Опр.8.Набор {xi,ni} наз-ся стат.распр-ем выборки.Таблица стат.распр-я выборки имеет след вид:

x1 x2 ... xk xi -1 2 5

n1 n2 ... nk ni 2 1 2 Eni=5

В более общей постановке под выборкой X1,..,Xn понимается набор с.в,кот.подвергаются изучению.В мат.ст-ке данные выборки,т.е с.в. Xi,считаются независимыми одинаково распределен.с.в,т.е задаются одной и той же ф-цией распр-я F(x)=P(Xi<=x) для всех i.Как правило,эта ф-ция неизвестна и она явл-ся объектом интереса.Говорят,что X1,..,Xn явл-ся выборкой из теоретич.распр-я.

27.Полигон и гистограмма частот.

Полигон частот-ломаная линия,отрезки которой соединяют точки (xi,ni).

Полигон относительных частот строится аналогично по точкам (xi,wi)

Разобьем интервал знач-ий вар.ряда (x1,xn) на M интервалов одинаковой длины.Предполагается,что n и М достаточно велики. Обозначим через дельтаi - i-ый по счету интервал,тогда h=(xn-x1)/M - длина интервала. Получим след.частичные интервалы: дельта 1 = [x1,x1+h)

дельта 2 = [x1+h,x1+2h)

...

дельта М = [x1+(M-1)h,xn]

Обозначим ni* - число вариант,попавших в интервал дельта.

Гистограмма частот-фигура,состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами ni*/h.

Для построения гистограммы относит.частот используется высота wi*/h.Площадь гистограммы частот равна объему выборки n. Площадь гистограммы относит.частот равна 1. Если n-->8,то М-->8,и график гистограммы относит.частот сближается с графиком теоретич.плотности.

28.Эмпирическая ф-я распред.

обозначим nx-число вариантов хi, кот меньше х.n{xi: xi<x}, nx=EI"внизу"{xi<x}.

Эмперической ф-ей распределения наз ф-я вида Fi(x)=nx/n=EI".."/n. Теоретическая ф-я распред опред вероятность события {xi<x} а эмпирическая относительную частоту этого же события.

Св-ва:1)Fn(x) - не убывает;

2)0<=Fn(x)<=1;

3)мат ожид эмпер ф-ии распред совпадает с теорет ф.р. MFn(x)=M(EI" внизу"{xi<x}..."/n)=1/n*MI" внизу"{xi<x}..."=1/n*EP(xi<x)=Fx(x);

4)DFn(x)=D(EI".."/n)=1/n^2*ED(I". внизу"{xi<x}..")=1/n^2*EFx(X)*(1-Fx(x))=Fx(x)*(1-Fx(x))/n->0 при n->8;

5)Оценим вер-ть отклонения эмпер ф.р. от теоретической с помощью нер-ва Чебышева: P(|Fn(x)-Fx(x)|>=e"эпсилон")<=DFn(x)/e^2=F(x)*(1-F(x))/n*e^2->0 при n->8 для всех е>0. Fn(x)->"p при n->8"Fx(x) т.о. эмпер ф.р. сближается с теорет при неограниченном росте числа испытаний.