13.Примеры дискретных уравнений.

1.Равномерное дискретное распределение. Пусть N-целое положительное число,xi=1,2,...,N; pi=1/N,i=1,2,..,N;

2.Распределение Пуассона с параметром Лямбда>0. Ставится задача найти вер-ть того, что при оч. Большом числе испытаний, в каждом из кот-х вер-ть соб-я оч. Мала, соб. Наступит ровно k раз. xk=k; Pk=e^-лямбдa* (лямбда^k/k!);k=0,1,2.... Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий.

E e^-лямбда*(лямбда^k*k!)=e^- лямбда* E лямбда^k/k!=e^-лямбда*e^лямбда=1 ЕРк=1

3.Биномиальное распределение. Бин-м наз-т распр-е вероят-й, определ-е формулой Бернулли. Пусть с.в. Х=число успехов в схеме Бернулли в серии из n испытаний, тогда закон распределения имеет вид:

Биномиальное распр-е с параметром n и p. (xk=k,Pk=C^k n*p^k*q^(n-k),k=0,...,n) x-число успехов в схеме Бернулли. E C^k n*p^k*q^(n-k) = (p+q)^n=1

Первый член p^n определяет вероятность наступления рассматриваемого соб-я n раз в n независимых испытаниях; второй член (np^n-1)*q определяет вероятность наступления соб-я n-1 раз;…; последний член q^n определ-т вер-ть того, что соб-е не появится ни разу.

4.Геометрическое распределение.

Пусть с.в. Х-число испытаний,которое необходимо провести прежде,чем появится первых успех в схеме Бернулли. Закон распр-я имеет вид:xi=0,1,....; pi=q^i*p,i>=0.

E pk=E q^k*p=P Eq^k=p* 1/(1-q) = p/p=1

Пр.:Бросается кость до 1го выпадения цифры 6. Построить закон распределения. р=1/6 q=5/6 Рк=q^k*p=5/6^k*1/6

x^k 0 1 ... k ...

Pk 1/6 5/6*1/6 ... (5/6)^k*1/6 ...

14.Функция распределения и её св-ва.

Функция F(x) в равной мере p(w:X(w)<x)=P(X<x) - наз-ся ф-цией распределения случ.вел.Х.

-бесокнеч-ть<x<бесконечн-ть

Теорема. Функция распределения удовлетворяет след.св-вам: 1.0<=FX(x)<=1 (значения ф-ции распред-я принадлежат отрезку [0;1])

2.F(x)-не убывает,т.е. если х1<=x2,то F(x1)<F(x2); 3.lim FX(x)=1 4.lim(х стремится к -бескон) FX=0. 5.P(x1<=x<=x2)=F(x2)-F(x1). Т.к. х-непрер. С.в. то ф-ция F(x)- непрерывна.

Функция дискретной с.в Х с законом распр-я (xi,pi) имеет вид: P(x) = E(внизу написать i: xi<x))*Pi

Пусть с.в имеет распр-я: хi -2 -1 1

pi 0,1 0,2 0,7

F(x)=0,x<=-2

0,1,-2<x<=-1

0,3,-1<x<=1

1, x>1

график ступеньками.

15. Математические ожидание дискретной с.В. И его св-ва.Примеры расчета.

Закон распр-я полн-ю характ-т с.в. Но часто закон распр-я не известен и прих-ся ограния-ся меньшими свед-мя. Можно польз-ся числами, кот описыв-т с.в. суммарно; -это числовые характеристики с.в. Выжнейшая из них-это мат. Ожид.

Математическим ожиданием (м.о) дискретной с.в. Х наз-ся сумма произв-й её значиния на соответств-е вер-ти МХ = Е(от 0 до беск.)xipi.

Св-ва: 1. Мс=с,с=const. 2.M(cX)=cMX . 3.M(X+-Y)=MX+-MY. 4.Если X<=Y,то MX<=MY. 5.Если Х1,...,Xn-независимые в сов-ти случ.величины,то М(Х1...Xn)=М(Х1)....М(Xn). 6. Пусть g-некоторая ф-ция,определенная на R,тогда M(g(X))=E g(xi)*pi

Пример. xk -2 -1 2

pk 0,1 0,2 0,7

MX=-2*0,1+(-1)*0,2+2*0,7=1

C.в. Х и Y независимы,если {x=xi} и {y=yj} независ. любые i,j,т.е P( {x=xi}*{y=yj} ) = P(x=xi)*P(y=yj)

Примеры расчета мат.ожидания.

1.Равномерное распределение. MX=N+1/2

2.Распределение Пуассона. MX=лямбда (всегда)

3.Биномиальное распределение. MX=np (n-число испыт-й, p-вер-ть 1го испыт-я)

Пр.: Игр.кость бросается 4 раза. Успех выпадения цифры 6? Вычесть м.о числа появления цифры 6. n=4 p=1/6 MX=4*1/6=2/3

4.Геометрическое распределение. MX=p/q

Пр.: (см.пред) q=5/6 p=1/6

MX=5/6:1/6=5