23.Виды сходимости с.В.

Пусть задана последовательность с.в. {Xn}n>=1 на вероятностном пространстве <Л,F,P>

Опр.1.Если последовательность с.в.{Xn}n>=1 удовлетворяет условию P({w: lim(n-->8) Xn(w)=X})=1,то говорят,что Xn сходится с вероятностью единица 1 к с.в. Х.

Такую сходимость обозначают Xn-->X(почти наверное) или Xn-->X с вероятностью 1.

Опр.2. Если последовательность {Xn}n>=1 удовлетворяет условию: lim(n-->8) P({|Xn-X| < Э})=1,то говорят,что Xn-->X по вероятности. Такую сходимость обозначают Xn—p(сверху над стрел-й)-->X. (сильная сходимость).

Опр.3.Последовательность ф.р. F1(x),F2(x),...сходится к предельной ф.р. F(x), если lim(n-->8) Fn(x)=F(x) для всех точек х непрерывности F(x).

Такую сходимость называют слабой сходимостью,или сходимостью функций распределения, и обозначают Xn==>X.

Опр.4.Если последовательность {Xn}n>=1 удовлетворяет условию lim(n-->8) M(Xn^2)=MX^2,то говорят,что Xn-->X в среднем квадратическом.

Замечание. Из сходимости почти наверное вытекает сходимость по вероятности,а из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость.Сходимость почти наверное также наз-ся сильной сходимостью.

24.Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.

Теорема 1.Неравенство Чебышева.

Если с.в. Х неотрицательна,то для любого Э > 0выполняется соотношение: P(|X-MX|>=Э)<=DX/Э^2.

DX/Э^2<=1 Э^2>=DX Э>=кореньDX

Центральная предельная теорема.

Рассмотрим последовательность X1,...,Xn независимых,одинаково распределенных (н.о.р) с.в. с математическим ожиданием MX1=a. Предположим,что DX1=sigma^2<беск-ти. Из ЗБЧ в форме Чебышева вытекает,что 1/n E Xi-a=Sn/n-a=1/n(Sn-an) ---p-->0 при n--->,где Sn= E Xi.

Центральная предельная теорема отвечает на вопрос,какое распределение имеет с.в. (Sn-an)/корень(n*sigma^2).

Ц.П.Т:

Пусть X1,...,Xn-последовательность н.о.р.с.в. с математическим ожиданием MX1=a и дисперсией DX1=sigma^2<беск-ти.Тогда lim(n--->8) P ((Sn-an)/корень(n*sigma^2) < x) = Ф*(х),

где Ф*(х) = интеграл (-8,х) (1/(корень 2Пи))*е^-y^2/2*dy) - ф.р. стандартного нормального распр-я.

25.Закон больших чисел(збч) в форме Чебышева и в форме Бернулли(с выводом).

Нерав-во Чебышева. Если случ. X>=0, то для (Апереверн.т.е.любого) Э>0

P(|X-MX|>=Э)<=DX/Э^2

ЗБЧ в форме Чебышева: Пусть Х1,Х2,...,-последовательность независимых с.в. с конечными дисперсиями,т.е DXi<c<8,при любых i. Тогда Апереверн.Э >0 выполняется соотношение P(|1/n EXi-1/n EMXi| >= Э), при n-->8.

Док-во: Т.к. P(|X-MX|>=Э)<=DX/Э^2

x=1/n E(от 1 до n)xi

MX=1/n E(от 1 до n)MXi

дисперсия х-->DX=D (1/n Exi)=1/n^2 E (DXi), а это с <=1/n^2 E c=nc/n^2=c/n

P(|1/n EXi-1/n EMXi| >= Э)<=DX/Э^2<=c/n*Э^2 --> 0

ЗБЧ в форме Бернулли: Пусть мера(n)-число успехов в схеме Бернулли.Тогда Апереверн.Э >0 выполняется соотношение P(|(мера(n)/n) -p| >= Э) ---> 0,при n-->8.

Таким образом,частота успеха (мера(n)/n) сближается по вероятности с вероятностью успеха в схеме Бернулли при неограниченном росте числа испытаний n.

Док-во: Ii= {1,успех в итом испытании

0,неуспех

M(n)=E (от 1 до n)Ii

Mбольшая (Mмаленькая(n))=np/n=p.

M(n)/n=E Ii/n M (M(n)/n) = np/n =p подставляем в теорему:

P(|E Ii/n| >= Э|)-->0