8.Формулы полной вероятности и Байеса.

Опр-е соб.Н1,...,Hn наз-ся полной группой несовместных событий,т.е 1. Е(от i=1 до n)Hi=Л(лямбда), 2.Hi*Hj=Oперечекн. (попарно независ).

Пусть соб.А происходит при наступлении одного из событий(гипотез) Н1,...,Нn,и пусть известны вер-ти P(Hi) и P(A|Hi). i=1,...,n

Т. Полной вер-ти. Вер-ть соб. А, кот. Может наступить лишь при условии появл-я одного из несовм-х соб-й В1, В2…Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятн-й каждого из этих соб-й на соответствующую условную вер-ть.

Ф-ла полн. Вер-ти: P(A)=E P(A|Hi)*P(Hi), Hi-гипотезы.

док-во: P(A)=P(A*Л)=P(A*E Hi)=P(E A*Hi)=E P(A*Hi)=E P(A|Hi)*P(Hi) (7св-во).

Пр.:Студент Иванов выучил 30 билетов,6 из них на "5".Он идет на экз вторым,найти вер-ть того,что студент вытащил счастливый билет.

Н1-1ый счастливый Н2-1ый несчастл.билет А-2й счастливый

Р(Н1)=6/30=1/5 P(H2)=24/30=4/5 P(A/H1)=5/29 P(A/H2)=6/29

Р(А)=Р(А|H1)*P(H1)+P(A|H2)*P(H2)=5/29*1/5+6/29*4/5=1/5

Теорема 2. Формула Байеса. Пусть P(A)>0

P(Hk/A)= P(A|Hk)*P(Hk)/E P(A/Hi)*P(Hi)

P(Hi),...,P(Hn)-априорные события. P(H1/A),...,P(Hn/A)-апостериорные события

Пр.:Врач после осмотра: 1. 40%-заболевание1 2. 60%-заболевание2. доп.анализ 90% дает полодит.20%

как изменится мнение врача?

Н1-заболевание1 Н2-заболевание2 А-анализ для положит.реакции

Р(Н1)=0,4 Р(Н2)=0,6 Р(А/Н1)=0,9 Р(А/Н2)=0,2

Р(Н1/А)= Р(А/Н1)*Р(Н1)/Р(А/Н1)*Р(Н1)+Р(А/Н2)*Р(Н2)=0,9*0,4/0,9*0,4+0,2*0,6=0,36/0,36+0,12=0,36/0,48=3/4 (75%)

Р(Н2/А)=Р(А/Н2)*Р(Н2)/Р(А/Н1)*Р(Н1)+Р(А/Н2)*Р(Н2)=0,2*0,6/0,9*0,4+0,2*0,6=1/4 (25%). Вывод:у больного пациента заболевание1.

9.Схема Бернулли.

Опр.1. Схемой Бернулли(или последовательностью независ.одинаковых испытаний или биноминальной схемой испытаний) наз-ся послед-ть испытаний,удовлетворяющая трем условиям: 1.при каждом испытании возм.только 2 исхода:1.появл.событие А-успех, Ас- -неуспех. 2.испытания независимы,т.е вер-ть успеха в катом(k) испытании независ. от испытания 1,...,k-1. 3.вероятность успеха постоянна u=p (Р(А)=р). вероятность неуспеха = q (P(Ac-)=1-p=q)

Теорема1. Ф.Бернулли

Вер-ть того,что произойдет к-успехов в послед-ти n испытаний вычисляется по форм-ле:

Pn(k)=Cn(k)=C^k n*p^k*q^(n-k). k=0,...,n

Замечание: E(n k=0) Pn(k)=E C^k n*p^k*q^(n-k)=(p+q)^n=1.

Пр.:1. монета подбр-ся 5 раз. Найти вер-ть выпадения 3х гербов.

n=5 успех-Г р=1/2 q=1/2 k=3 p5(3)=C^3 5(1/2)^3*(1/2)^2=5!/3!*2!=5/16

Следствие 1. Р(k1<=k<=k2) = E (k2 k=k1) C^k n*p^k*q^(n-k), 0<=k1,=k2,=n

Следствие 2. к1=1, k2=n. P(k>=1)=1-P(k=0) =1-C^0 n*p^0*q^n=1-q^n

Пр.: Монета бросается 5 раз. Вер-ть появления хотя бы 1 герба. n=5 q=1/2 P(хотя бы 1герб)=1-(1/2)^5=31/32

Опр.2. число наступлений событий А,наз-ся наивероятным,если оно имеет наиб.вер-ть по сравнению с вер-ми наступления А любое другое число раз.

Теорема 2. Наивероятнейшее число наступлений события А в н испытаниях нах-ся в пределах np-q и np+q

Пр.:Бросается монета 5 раз. Успех-Г. n=5,p=1/2,q=1/2. np-q=5*1/2-1/2=2. np+p=5*1/2+1/2=3. Ответ:Г выпадет 2 или 3 раза.

10.Локальная,интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Т. Позволяет приблеженно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытании достаточно велико.

Рассм.случай схемы Бернулли,когда с ростом n вероятность р уменьшается пропорционально n.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Pn(k)~= 1/(корень(npq)*фи(x), где x=(k-np)/(корень(npq)),при больших n,где фи(х)=1/корень из 2пи*е^(-x^2\2)-табличное значение. Функция фи(х) явл-ся четной и наз-ся ф-цией Гаусса. Для вычисления вероятности того,что соб.А появится в n испытаниях менее k1 и не более k2 раз Pn(k1<=k<=k2),можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа.

Пр.:Вер-ть,что посетитель сделает заказ=0,8 р=0,8

Найти вер-ть того,что из 100 посетителей 75 сделает заказ. n=100,k=75

P100(75)~=1/(корень(100*0,8*0,2))*фи(75-80/корень из 16)=1/4*фи(-5/4)=1/4*4(1,25)=1/4*0,1826=0,0457

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероят-ть Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу.

Pn(k1<=k<=k2)~=Ф(k2-np\(корень(npq))-Ф(k1-np/(корень(npq))

Ф(х)=1/(корень из 2Пи)*(интеграл из е^(-y^2/2))*dy

Ф(х)-ф.Лапласа. х>=5 Ф(х)=1/2 Ф(х)-неч Ф(-х)=-Ф(х)

Пр.:30% призывников имеют 45й размер обуви. В часть прибыло 300 призывников. Найти вероятность,что 68 пар 45 размера хватит.

Р=0,3 n=300 k1=0 k2=68 P300 (0<=k<=68)=Ф(68-300*0,3)/(корень(300*0,3*0,7))-Ф(0-300*0,3/(корень(300*0,3*0,7))=Ф(-2,77)=1\2 = 1\2-Ф(2,77).