6.Условная вероятность. Св-ва с выводом.

Условной вероятностью Pa(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Условная вероятность соб.А относительно соб.В (Вне равно 0) наз-ся отношение вероятности произвед-я АиВ к вер-ти соб. В. Ф-ла: P(AB)/P(B) = P(A|B)

Св-ва. 1).0<=P(A|B)<=1 P(A*B)>=0,P(B)=0 ----> P(AB)/P(B)>=0

AB включает B. P(AB)<=P(B); P(AB)/P(B)<=1 0<=P(AB)/P(B)<=1

2).Р(Л|B)=Р(Л*B)/P(B)=P(B)/P(B)=1

3).P(Oперечеркн|B)=0 (условная вер-ть невозможного соб-я) P(Oперечеркн|B)=P(Oперечеркн*B)/P(B)=P(Oперечеркн)/P(B)=0/P(B)=0

4).P(Ac-|B)=1-P(A|B) B=B*Л=B(A+Ac-)=BA+BAc- P(BAc-)=P(B)-P(AB); P(Ac-|B)=P(Ac-*B)/P(B)=P(B)-P(AB)/P(B)=1-P(AB)/P(B)=1-P(A|B)

5).Если А (с) вкл.в С,то P(A|B)<=P(C|B)

док-во: Aвкл.С,то АВвкл.СВ---->P(AB)<=P(C|B). P(AB)/P(B)<=P(CB)/P(B) P(A|B)<=P(C|B)

6).Формула сложения условн.вероятностей.

P(A+C|B)=P(A|B)+P(C|B)-P(A*C|B)

док-во:P(A+C|B)=P((A+C)*B)/P(B) = P(AB+CB)/P(B)=P(AB)+P(CB)-P(ABC)/P(B)=P(A|B)+P(C|B)-P(A*C|B)

7).Формула умножения усл.вероятностей.

P(AB)=P(A)*P(A|B) (относит.В) из опр-я усл.вер-ти.

8).Расширенная формула сложения усл.вер-тей.

А1,...,Аn-попарно несовм.,т.е Ai*Aj=Oперечеркн. iнеравноj P(A1+...+An|B)=E P(Ai|B)

9).Общая формула умножения усл.вер-тей

P(A1*...*An)=P(A1)*P(A2|A1)*P(A3|A1*A2)*..*P(An|A1*An-1)

Пр.:Бросается 1игральная кость,её грани 1,3,6-красный цвет.,2,4,5-белый. Соб.А1-нечетное число на грани. А2-чётн. B-красный цвет грани. P(A1)=1/2; P(A2)=1/2; P(B)=3/6=1/2; P(A1*B)=2/6=1/3; P(A2*B)=1/6.

P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=1/3:1/2=2/3; P(A2|B)=P(A2B)/P(B)=1/6:1/2=1/3

7.Независимость событий, независ-ть в сов-ти, попарная независ-ть.

Опр-е:Соб.А и В наз-ся независимыми,если их условные* вероятности совпадают с безусловными**.

*P(A|B)=P(A) **P(B|A)=P(B). A-не зависит от В; В-не зависит от А.

Теорема 1. А,В-независимы тогда и только тогда,когда вер-ть произведения равна произведению вероятностей.

АиВ-независимы ---->P(A*B)=P(A)*P(B)

Док-во: Пусть А,В-независимы,т.е * и ** выполнены--->7св-во,P(A*B)=P(A)*P(B|A) {P(B|A)=P(B)} = P(A)*P(B)

Пусть вер-ть произведения равна произведению вер-тей. P(AB)=P(A)*P(B)

P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)*P(B)/P(B)=P(A)--->*

P(B|A)=P(BA)/P(A)=P(B)*P(A)/P(A)=P(B)--->**

Опр-е:соб.АиВ-независимы,если вер-ть произведения равна произведению вероятностей. P(AB)=P(A)*P(B)

Пр.:из колоды 36 карт извлекается одна карта. А-пик В-дама Зависимы ли события?

Р(А)=9/36=1/4 Р(В)=4/36=1/9 Р(АВ)=1/36 Р(А)*Р(В)=1/4*1/9=1/36 Р(АВ)=Р(А)*Р(В) по теор.1 событие АиВ независимы. +100 пустых, 136 карт.

Р(А)=9/136, Р(В)=4/136. Р(АВ)=1/136 Р(А)*Р(В)=9/136*4/136 неравно 1/136 Р(АВ)неравно Р(А)*Р(В) события зависимы.

Теорема 2.Пусть АиВ-зависимы.,тогда 1).Ас- и В-независимы, 2).АиВс- независ, 3).Ас- и Вс- независ.

Док-во:1).Р(Ас-/В)=1-Р(А/В)=1-Р(А)=Р(Ас-). 2).Р(Вс-/А)=1-Р(В/А)=1-Р(В)=Р(Вс-). 3).Р(Ас-/Вс-)=1-Р(В/Ас-)=1-Р(В)=Р(Вс-)

Опр-е 4. Событие А1,...,An наз-ся независ в сов-ти,если вер-ть произведения любых различных событий=произведению их вероятности.

1<=i1<i2<..<ik<=n P(Ai1...Aik)=P(Ai1)....P(Aik).

Опр-е 5. Соб.A1...An наз-ся попарно независ,если вер-ть произведения любых двух событий=произведению вер-тей.

Aпереверн.i,j -для любых индексов. P(Ai*Aj)=P(Ai)*P(Aj)

Попарная независимость-частный случай. Замечание:Из попарной нез-ти не следует независ.сов-ти.

Пр.:Бросается 2 игр.кости. А={Неч.на 1игр.кости} B={неч.на 2} С={неч.Сумма очков}

Р(А)=1/2 Р(В)=1/2 Р(С)=18/36=1/2 Р(АВ)=9/36=1/4 Р(АС)=9/36=1/4 Р(ВС)=9/36=1/4

Р(АВ)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(В) Р(ВС)=1/4=1/2*1/2=Р(В)*Р(С) соб.независимы Р(АС)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(С)

А,В,С-попарно независ. Р(АВС)=0 Р(А)Р(В)Р(С)=1/2*1/2*1/2=1/8 - соб-я не явл-ся независ.в сов-ти.

Теорема 3. Формула вер-ти объединения независ.событий. Пусть соб.А1,...,Аn-независ. в сов-ти. А=А1+...+Аn Р(А)=1-(1-Р(А1))*...*(1-Р(An))

док-во: Ас- = (А1*...*Аn)с- = А1с-*...*Аn с-. Р(Ас-)=Р(А1с-*....*Аn с-)=Р(А1с-)*...*Р(An с-)=(1-Р(А1))*...*(1-Р(Аn))

Р(А)=1-Р(Ас-)=1-(1-Р(А))*...*(1-Р(Аn)) Замечание:1.Если А,В-несвм-А,В-завис, (Р(А)неравно0 и Р(В)неравно0) А*В=Оперечеркн. Р(АВ)=0 Р(А)*Р(В)неравно0 2.Если А,В совм. А,В завис и независ. 3.Если А,В-завис, А,В совм и несовм.