19. Непрерывная с.В. Плотность распределения и ее свойства.

Непрерывной с.в. Х,для которой существует функция fX(x),такая,что: FX(x)=интеграл в пределах от - бесконечности до х от (fX(y)*dy

Функция fX(x)=F'X(x) наз-ся плотностью распределения. Св-ва: 1.fX(x) >= 0. 2. P(x1<x<=x2) = интеграл в пределах от х1 до х2 от (fX(x)*dx, x1<x2

3.интеграл в пределах от -бескон. до +бескон. от fX(x)dx=1

4.P(x<X<=x+дельта x)~= fX(x)*дельта x в точках непрерывности fX(x)

5.P(X=x) = 0 Aпереверн. x

Существуют с.в.,которые не являются чисто непрерывными,или дискретными.

20.Равномерное непрерывное,показательное распределения ,их св-ва.

1.Равномерное непрерывное распр-е на [a,b] X~U [a,b] U-равномерн.распр-е

f(x)= 1/(b-a); x принадлежит [a,b]

0; x не принадлежит [a,b]

F(x)= 0, x<=a

(x-a)/(b-a), a<x<=b

1, x>b

P(x1<=X<=x2) = F(x2)-F(x1) = (x^2-a)/(b-a) - (x1-a)/(b-a) = (x2-x1)/(b-a)

Таким образом,равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a,b].

2.Показательное(экспонециальное) распределение с параметром лямбда>0.

X~E xp(Лямбда),если:

f(x)= 0, x<0

лямбда*e^(-лямбда*х), х>=0

F(x)= 0, x<0

1-e^(-лямбда*х), х>=0

Показательное распределение обладает св-вом "потери памяти":для любыx y>=0, x>=0.

P(X>=x+y|X>=x) = (X>=x+y,X>=x)/P(X>=x)=P(X>=x+y)/P(X>=x)=(e^(-лямбда)*(х+y))/e^(-лямбда)*х=e^-лямбда*y=P(X>=y). (1-F(y))

21.Нормальное распределение,его свойства.

Нормальное распределение с параметрами а и сигма^2.

X~N(a,сигма^2)

Плотность с.в. Х имеет вид:

fX(x)=(1/(sigma*(корень 2Пи))*е^(-((x-a)^2))/2sigma^2), -беск-ть<x<+беск-ть

где а,сигама-константы, сигма>0,а ф.р. имеет вид:

F(x)=integral (от – бескон до х) от 1/(sigma*корень2Пи)*e^(-(у-a)^2/2sigma^2)dy.

Замечание: Можно показать,что P(x1<=X<=x2)=Ф(((х2-а)/sigma)-Ф((x1-a)/sigma),

где Ф(х)-функция Лапласа. Заметим,что выполнено так называемое правило "трёх сигм".

P(|X-a| < 3sigma)= P(-3 sigma <x-a<3sigma)=P(a-3sigma<x<a+3sigma)=Ф(a+3sigma-a/sigma) – Ф(a-3sigma-a/sigma)=Ф(3)-Ф(-3)=2Ф(3)=0.9972

(a-3sigma; a+3sigma)- интервал практически возможных значений и содержит почти все возможные значения нормально распределенной с.в. При сигма=1,а=0 нормальное распределение называют стандартным.

Пр.:С.в Х имеет нормальное распределение (N) с параметром (1,9)

Найти интервал,в кот. она попадет с вер-ть 0,997

а=1 сигма^2=9 сигма=3

(1-3*3;1+3*3)-->(-8;10)

22.Числовые характеристики непрерывных с.В.

Предположим,что интеграл абсолютно сходится.

Опр1.Математическим ожиданием непрерывной с.в. Х наз-ся Mx=ИНТЕГРАЛ(-беск,+беск) x*f(x)dx.

Например: f(x)= {1/2 cosx, x принадлежит [-П/2;П/2]

0, х не принадлежит [-П/2;П/2]

MX= Интеграл(-П/2;П/2) х*1/2cosx*dx=[замена:u=x, du=dx, dv=1/2cosxdx, v=1/2sinx] = uv-интеграл v*du= x*1/2sin x|(от-П/2;доП/2) - интеграл (-П/2;П/2) 1/2sinx*dx=П/2*1/2*1-(П/2)*1/2*(-1)+1/2cosx|(-П/2;П/2)=0

Примеры расчета м.о. для непрерывных распределений:

1.Равномерное(непрерывное распр-е) на [a;b]. F(x)={1/b-a, при х(пренадлеж. [a;b]; 0, при х не пренадлеж.

MX=integral (от a до b) x-1/b-a по dx=x^2/2*1/b-a(прямая черта внизу а, вверху b)= b^2-a^2/2(b-a)=a+b/2

MX=(a+b)/2

2.Показательное распределение с параметром лямбда: MX=1/лямбда

3.Нормальное распределение N(a,sigma^2): МХ=а

Опр.2.Дисперсией непрерывной случайной величины наз-ся DX=M[(X-MX)^2]=Интеграл(-8,+8) (x-MX)^2*f(x)dx=Интеграл(-8,+8) x^2*f(x)dx-(интеграл (-8,+8)(*x*f(x)*dx)^2,где f(x)-плотность распр-я с.в.

Примеры расчета дисперсии:

1.Равномерное непрерывное распр-е:DX=(b-a)^2/12

2.Показательное распределение с параметром лямбда: DX=1/лямбда^2

3.Нормальное распределение N(a,sigma^2): DX=sigma^2

Опр.Для непрерывной с.в. начальный момент порядка к равен MX^k=интеграл(-8,+8) x^kf(x)dx.

Опр.Для непрерывной с.в. центральный момент порядка к равен M(X-MX)^k=интеграл(-8,+8) (x-MX)^k*f(x)dx.

Опр.Ковариацией 2ух непр.с.в. X и Y наз-ся cov(X,Y)= интеграл(-8,+8) (x-MX)(y-MY) f(x;y)dxdy,где f(x,y)-совместная плотность распр-я.

Квантилью уровня альфа(0<alpha<1) с.в. Х наз-ся число Qalpha,удовлетворяющее условиям P(X<Qalpha) <=alpha и P(X>Qalpha) <=1-alpha.

Квантиль наз-ся медианой,если альфа=0,5.Для непрерывной с.в.квантиль задается уравнением F(Qalpha)=alpha.

Мода непр. Случ. Велич. Наз-ся точка максимума плоскости Xd:f(Xd)=maxf(x)

Мода лискр. Случ. Велич.-это такое значение: Xd:P(Xd)=maxPi