29.Определение точечной оценки,состоятельность,несмешенность,эфективность.

Пусть задана выборка. Мы хотим оценить некоторый параметр "этта"О распределения этой выборки.

Любая ф-я от выборки Оn"этта н"=f(x1...,xn) предназначена для оценки параметра О называется точечной оценкой параметра О.

Оценка On наз несмещенной оценкой параметра O если МOn=О.

Оценка On наз состоятельной оценкой параметра O если выполняется: P(|On-O|<=e)->0 при n->8 для всех e>0.те On->"р при n->8"O.

Оценка On называется эффективной оценкой параметра O если она имеет минимальную DX из всех возможных оценок при заданном объеме выборки. на практике св-во не смещенности означает что в измерениях отсутствует систематическая ошибка.

30.Примеры стат оценок для всех параметров распределения.

1) On=Fn(x) - состоятельная несмещенная оценка теоретической ф.р Fx(x);

2) On=1/n*EXi=X"с черт" среднее выборочное состоят несмещ оценка МХ, х"с черт"=1/n*Exi |для выборки, х"с черт"=Exi*ni/Eni |по стат распределению, х"с черт"=Exi*wi |по относ частотам wi=ni/n;

3)On=1.n*E(xi-x"с черт")^2=S^2 выборочная дисперсия состоят смещенная оценка DX(MS^2=(n-1)/n*DX - поэтому смещ), S^2=1/n*E(xi-x"..")^2=1/n*Exi^2-(x"..")^2 |по выборке, S^2=E(xi-x"..")^2*ni/Eni |по стат распред, S^2=E(xi-x"..")^2*wi |по относ частотам. Можно использовать исправленную дисперсию s^2 несмещ оценка s^2=n/(n-1)*S^2.

4)On=1/n*EX(kв iн) - начальный выборочный момент порядка к - стат оценка начального момента МХ^k;

5)On=1/n*E(Xi-X"..")^k - центральный выборочный момент порядка к - стат очценка центрального момента М(Х-МХ)^k;

6) On=M[(X-MX)*(Y-MX)]=M(XY)-MX*MY выборочная ковариация стат оценка ковариации cov(X,Y);

7) On=(1/n*EXiYi-1/n*EXi*1/n*EYi)/кореньSx^2*Sy^2 - выборочный коэф корреляции стат оценка коэф коррел cor(X,Y);

8) Оценкой моды является вариант xd у которога максимальная частота те nd=maxni;

9) Оценкой медианы является On="сист"(x(внизу n/2)+x(n/2+1))/2 для п-четных, x(n+1)/2 для п не четных"конец".

31.Опред интервальной оценки(дов инт) оцнка требуемого объема выборки.

Интервальной называют оценку кот определяется двумя числами - концами интервала.Интерв оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Пусть On оценка параметра О. чем меньше |On-O| тем точнее оценка.пусть б"сигма">0 тогда |On-O|<б => чем точнее б тем точнее оценка O. Величина б характерезует точность оценки. Вероятность P(|On-O|<б)=v"гамма - петелька" тогда Р(v)-называется доверительной вероятностью - характеризует надежность оценки.

интервал (On-б<O<On+б) наз доверительным интервалом(интервалной оценкой).елси v=0,95 значит в 95% случаев интервал накрывает параметр O.

оценка треб объема выборки: б=zv"z по гамме"*ню/корень из n, n=(zv*ню/б)^2, чем больше объем выборки тем точнее дов инт

32.Дов инт для оценки неизвестного мх в норм законе распред при известной dx и не известной.

дов инт для оценки неизвестного МХ в норм распред N(a,б^2) при известной DX=б^2,

O=МХ=а

On=х"с чЕрт"

Р(|x"с черт"-a|<=б)=v

МХ"с черт"=М(1/n*Exi)=1/n*EMxi=n*a/n=a

DX"с черт"=D(1/n*Exi)=1/n^2*EDxi=n/2*б"сигма"^2=б^2/n

x"с черт"-N(a,б^2/n)

P(|x"ч черт"-а|<=б)=P(a-б<=х"с черт"<=a+б)"а-б=х1;а+б=х2"=Ф((х2-а)/б*n^0,5)-Ф((х1-а)/б*n^0,5)=Ф(б/сигма*корень изn)-Ф(б/синма*корень изn)=2Ф(б/сигма*n^0,5)=v пусть zv=б*n^0,5/сигма тогда 2Ф(zv)=v

Ф(zv)=v/2, zv=Ф^(-1)(v/2), v=zv*сигма/n^0,5, P(|x"с черт"-а|<б)=v, P(x"с черт"-zv*сигма/n^0,5<a<x"с черт"+zv*сигма/n^0,5)=v, [x".."-zv*сигма/n^0,5;x".."+zv*сигма/n^0,5].

Дов инт для оценки неизвестного МХ в норм законе распред N(a,сигма^2) при неизвестной DX:

пусть t=(x".."-a)/s/n^0,5 s=(S^2)^0,5 исправленное средне квадратическое отклонение, t распред Стьюдента с (n-1) степенями свободы и дов вероятностью v=P(|x".."-a/s/n^0,5|<tv(n-1)"все внизу") t по табл распред стьюдента