- •1.Осн.Понятия тв.
- •2.Дискретное вероятностное пространство.
- •3.Формулы сложения и умножения, св-ва.
- •4.Классическая вероятность. Геометрическая вероятность(с выводом).
- •5.Элементы комбинаторики.
- •6.Условная вероятность. Св-ва с выводом.
- •7.Независимость событий, независ-ть в сов-ти, попарная независ-ть.
- •8.Формулы полной вероятности и Байеса.
- •9.Схема Бернулли.
- •11.Теорема Пуассона.
- •12.Дискретная случайная величина.
- •13.Примеры дискретных уравнений.
- •14.Функция распределения и её св-ва.
- •15. Математические ожидание дискретной с.В. И его св-ва.Примеры расчета.
- •16.Дисперсия дискретной с.В и ее св-ва.Примеры расчета.
- •17.Ковариация,корреляция,начальные,центральные моменты,ассиметрия,эксцесс.
- •18.Индикатор случайного события и его свойства.
- •19. Непрерывная с.В. Плотность распределения и ее свойства.
- •20.Равномерное непрерывное,показательное распределения ,их св-ва.
- •21.Нормальное распределение,его свойства.
- •22.Числовые характеристики непрерывных с.В.
- •23.Виды сходимости с.В.
- •24.Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
- •25.Закон больших чисел(збч) в форме Чебышева и в форме Бернулли(с выводом).
- •26.Основные понятия мат.Статистики.
- •27.Полигон и гистограмма частот.
- •28.Эмпирическая ф-я распред.
- •29.Определение точечной оценки,состоятельность,несмешенность,эфективность.
- •30.Примеры стат оценок для всех параметров распределения.
- •31.Опред интервальной оценки(дов инт) оцнка требуемого объема выборки.
- •32.Дов инт для оценки неизвестного мх в норм законе распред при известной dx и не известной.
- •33.Опред стат гипотезы общая схема проверки гипотез.
- •34.Проверка гипотезы о равенстве среднего числового знач при известной и не известной dx норм зак распред.
- •35.Проверка гипотезы о равенстве средних двух выборок из n при изв и не изв Дисперсии.
- •36..Линейная регрессия.
16.Дисперсия дискретной с.В и ее св-ва.Примеры расчета.
Дисперсией с.в. Х наз-ся мат.ожидание квадрата отклонения с.в. от ее мат.ожидания,т.е M(X-MX)^2=DX.
DX=M[X-M(X)]^2
Дисперсия-мера разброса с.в. вокруг е среднего значения(мат.ожидания).
Дисперсией дискретной с.в.Х наз-ся DX=E (xi-MX)^2*pi.
Величина сигмаХ=корень из DX называется средним квадратическим отклонением. Исп. Для оценки рассеяния возможных значений вокруг ее среднего зн-я кроме.
Св-ва дисперсии:
1.DX>=0 Дисперсия всегда положительна
2.Dc=0,c=const. (дисп. Пост-й вел-ны с=0)
3.D(cX)=c^2*DX (пост-й мн-ль можно выносить за знак дисп-ии, возводя его в кв-т).
4.Если с.в. Х1,...,Хn попарно независ.,то дисперсия суммы = сумме дисперсий
D(x+y)=Dx+Dy
5.Если с.в Х1,...,Хn-зависимы,то D(E Xi)=E D(Xi)+2E cov(Xi,Xj), где cov(X,Y)-ковариация с.в. X и Y. Cov- вел-на безразмерная, отражает меру завис-ти.
Примеры расчета:
1.Распределение Пуассона, DX=лямбда, MX=Л.
2.Биномиальное расп-е. DX=npq; MX=np.
3.Геометрическое распределение. DX=p/q^2; MX=p/q.
17.Ковариация,корреляция,начальные,центральные моменты,ассиметрия,эксцесс.
Ковариацией двух с.в. X и Y называется математическое ожиданние произвденеия отклоений с.в. от их мат. ожиданий.
cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)] можно показать,что cov(X,Y)=M(XY)-MXMY.
Замечание:cov(X,Y)=M[XY-YMX-XMY+MX*MY]=M(X*Y)-MX*MY+MX*MY=M(X*Y)-MX*MY.
Ковариация отражает меру зависимости между с.в.,поскольку для независимых с.в. cov(X,Y)=0.
Опр-е:Коэфф-м корреляции с.в. X и Y называется отношение ковариации к корню дисперсии.
cor(X,Y)= cov(X,Y)/(корень(DX*DY)).
Св-ва коэффициента корреляции:
1.|cor(X,Y)|<=1
2.Если Х и Y- независ.,то cor(x,y)=0. независ=некоррелир.
cor(x,y) = (M(x*y)-MX*MY)/(корень(DX*DY))=MX*MY-MX*MY/(корень(DX*DY))=0
3.y=ax+b x,y-связаны лин.зависимостью,тогда cor(x,y) = 1,если a>0
-1,если а<0
Опр-е. Начальным моментом k-порядка наз-ся математ.ожидание X^k. MX^k=E xi^k*Pi
Опр-е.Центральным моментом k-порядка-математ.ожидание (X-MX)^k
M[(X-MX)^k] = E (xi-MX)^k*Pi
Опр-е.Ассиметрия А с.в.Х наз-ся А=M(X-MX)^3/сигма^3
Опр-е.Эксчессом эпсилон с.в.Х наз-ся Э=(M(X-MX)^4/сигма^4)-3
18.Индикатор случайного события и его свойства.
А-случ.событие. А(пренадлежит) F т.е.(принадлежит алгебре событий «Эф»)
Опр: Индикатором случ-го события А наз-ся случ. Вели-на, имеющая закон распределения: IA=IA(w)= {1, если (А) произошло и 0, если (А с чертой произошло).
С.в. IA наз-ся индикатором случайного события А и принимает значение 1,если событие А произошло с вероятностью P(A),и значение 0,если событие А не произошло (с вероятностью 1-Р(А)).
Св-ва индикатора:
1.Математич.ожидание индикатора случайного события равно вероятности этого события, MI(Aиндекс)=1*P(A)+0*(1-P(A))=P(A)
2. MIA^k=P(A), при любых k=1,2...Начальный момент к-порядка индикатора:MIA^k=1^k*P(A)+0^k*(1-P(A))=P(A)
3.Дисперсия индикатора. DIA=MIA^2-(MIA)^2=P(A)-P(A)^2=P(A)(1-P(A))
Применение индикатора в схеме Бернулли: Ii={1, успех в i-том испытании; 0, произошел неуспех в i-том испыт-ии.
M(мю)(n)-общее число успехов, кот.явл-ся с.в. Заметим,что ню(n)=E Ii и {Ii}-независимые с.в,тогда
Mm(мю)(n)= M (E(от 1 до n) Ii)= E MIi= np
Dm(мю)(n)= D (E Ii)= E (DIi-(а это pq))= npq