Лекция № 10. Технология подготовки выпускников общеобразовательной школы к решению заданий из материалов единого государственного экзамена (3 часа).

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике отличается от выпускного экзамена, который проводится в школе по окончании 11-го класса. Это отличие прежде всего состоит в том, что ЕГЭ совмещает два экзамена – выпускной школьный и вступительный в высшее учебное заведение.

Выпускной экзамен проводится для того, чтобы оценить уровень усвоения школьником материала курса «Алгебра и начала анализа», который изучается в 10-11-х классах. Поэтому задания экзаменационной работы на выпускном экзамене проверяют усвоение материала только этого курса.

Целью вступительного экзамена является оценка подготовленности выпускника к обучению в вузе. В этом случае содержание экзаменационной работы значительно шире, чем на выпускном экзамене.

При подготовке к сдаче ЕГЭ необходимо повторить материал не только курса «Алгебры и начал анализа», но и некоторых разделов курса математики основной и средней школы: проценты; пропорции, формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий; материал курса планиметрии для 7-9-х классов и курса стереометрии для 10-11-х классов.

На выполнение экзаменационной работы при сдаче ЕГЭ отводится 3 часа (180 минут). Работа содержит 25 заданий и разделена на 3 части, которые различаются по числу, сложности и типу включенных в них заданий.

Часть 1 содержит 13 несложных заданий (обязательного уровня), составленных только на материале курса «Алгебры и начал анализа» для 10-11-х классов. Все задания первой части – задания с выбором ответа из 4 предложенных вариантов. За верное выполнение задания дается 1 балл.

Часть 2 содержит 9 заданий (повышенного уровня), более сложных по сравнению с заданиями части 1. Эти задания составлены на материале курса математики для 5-11-х классов. Среди них имеются алгебраические, геометрические задания и задания, связанные с использованием процентов и пропорций. Все задания второй части требуют записи только краткого ответа в виде некоторого числа. За верное выполнение задания дается 1 балл.

Задания части 3 можно сравнить с наиболее трудными заданиями, которые предлагаются в экзаменационной работе на выпускном экзамене по алгебре и началам анализа в 11-м классе (обычно под номерами 5 и 6) или на вступительных экзаменах в большинстве вузов. Эти задания требуют записи полного решения с необходимым обоснованием, как это обычно делается при выполнении письменных контрольных работ в школе. В зависимости от полноты и правильности решения за выполнение задания выставляется от 0 до 4 баллов.

Рекомендации по подготовке выпускников с сдаче егэ Курс алгебры и начал анализа

Анализ результатов выполнения заданий КИМ позволил описать состояние алгебраической подготовки выпускников, продемонстрировавших различные уровни общей математической подготовки.

Описание алгебраической подготовки участников экзамена в соответствии

с показанным ими уровнем общей математической подготовки

Уровень математической подготовки участника экзамена	Описание подготовки выпускников по алгебре
НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ Тестовый балл 1 – 37; Оценка «2»	Выпускники этой группы не овладели ни одним из проверяемых элементов содержания на базовом уровне
УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ Тестовый балл 38 – 55; Оценка «3» Процент выпускников – 39,5%	Выпускники этой группы овладели 6 – 8 элементами содержания из 13, которые контролировались с помощью заданий базового уровня сложности в каждом варианте КИМ. Овладели на базовом уровне умением проводить преобразования радикалов и степеней, преобразования логарифмов и тригонометрических выражений с использованием ограниченного набора формул. Эта категория выпускников умеет решать простейшие показательные и логарифмические уравнения, дробно-рациональные неравенства, а также читать по графику некоторые свойства функции
ХОРОШИЙ Тестовый балл 54 – 71; Оценка «4» Процент выпускников – 34,0%	Выпускники этой группы овладели всеми элементами содержания, проверяемыми на базовом уровне: они умеют преобразовывать все изученные виды выражений, решать все проверявшиеся виды уравнений и неравенств, исследовать свойства функций. Овладели (выполняют задания более 50% учащихся данной группы) 3-4 элементами содержания из семи, освоение которых проверялось на повышенном уровне. Они умеют преобразовывать выражения, включающие различные их виды; исследовать свойства функций элементарными методами и с помощью производной; решать комбинированные уравнения
ОТЛИЧНЫЙ Тестовый балл 72 – 100; Оценка «5» Процент выпускников – 7,1%	Выпускники этой группы успешно овладели всеми элементами содержания, проверяемыми на базовом и повышенном уровнях. Овладели не только методами решения всех математических задач при выполнении заданий с выбором ответа и кратким ответом, но и показали умение грамотно и обоснованно записать свое решение при выполнении заданий с развернутым ответом

Анализ результатов экзамена позволил выделить проблемы в обучении математике, которые явно проявляются при сдаче ЕГЭ выпускниками, которые продемонстрировали «удовлетворительный» уровень математической подготовки.

1) Выделяются разделы, темы, вопросы, усвоение которых вызывает серьезные затруднения учащихся. Они допускают грубые ошибки при выполнении заданий базового уровня сложности по следующим темам:

• преобразование тригонометрических выражений, преобразование логарифмических выражений;

• решение иррациональных уравнений;

• решение логарифмических и показательных неравенств с основанием 0<а<1;

• исследование свойств функций элементарными методами (нахождение области определения, множества значений, распознавание четности (нечетности).

2) Анализ ответов на задания базового уровня сложности выявил, что учащимися не усвоены стандартные алгоритмы выполнения изученных преобразований, основных методов решения уравнений и неравенств, элементарных методов исследования свойств функций. Так, например, допускаются следующие ошибки в преобразовании разности логарифмов в логарифм частного: до 25% участников экзамена пишут в ответе логарифм разности, до 10% – разность чисел, стоящих под знаком логарифма, до 15% – частное чисел, стоящих под знаком логарифма уменьшаемого и вычитаемого.

При решении простейших логарифмических неравенств положение еще более плачевное. Около трети учащихся не учитывают область определения логарифма, еще треть учащихся не меняет знак неравенства на противоположный, когда основание логарифма 0<a<1. При решении иррациональных уравнений около трети учащихся не выполняет проверку корней уравнения, полученных при решении уравнения-следствия.

Учащиеся затрудняются в нахождении области определения функции (например ). Около четверти выпускников за область определения заданной функции принимают область определения корня четной степени, пятая часть экзаменуемых исключает из множества всех действительных чисел только те значения аргумента, при которых знаменатель обращается в ноль.

При выполнении заданий базового и повышенного уровня выпускники допускают много вычислительных ошибок.

3) Очень небольшой процент участников экзамена, получивших оценку «3», справляется только с отдельными заданиями повышенного уровня сложности. Обычно для решения таких задач нужно применить не одну формулу или одно свойство, а две формулы или два свойства, или применить изученные знания (формулы, свойства) в несколько измененной ситуации.

С описанными заданиями повышенного уровня сложности справляются лишь около половины выпускников, получивших оценку «4». Им оказываются под силу лишь те задания, где требуется выполнить более сложные вычисления или преобразования, но школьные «хорошисты» испытывают затруднения в тех заданиях, где нужно изменить стандартный алгоритм решения, согласуясь с данными задачи. Так, при нахождении наибольшего и наименьшего значений сложной функции на заданном отрезке (например, «Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = log _0,1(10-x²) на отрезке [-3; 1]») условие задачи провоцирует выпускника на применение стандартного алгоритма исследования функции с помощью производной. Однако анализ условия показывает, что в силу монотонности логарифмической функции и с учетом значений функции y=10-x² на отрезке [-3;1] задачу можно решить элементарным методами, найдя разность y(– 3) – y(0). Очевидно, что школьный «хорошист» имеет теоретическую базу, достаточную, чтобы справиться с этой ситуацией. В ходе обучения необходимо ставить перед учениками такие проблемы, решение которых выходило бы за рамки стандартных алгоритмов, но ученики могли бы с ними справиться, применяя самостоятельно изученный ими материал.

4) Особое беспокойство вызывают проблемы, о которых свидетельствует перепроверка ответов учащихся на задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности, выполнение которых оценивается максимально 2 баллами. При записи решений этих заданий не требуется каких-либо объяснений, т.к. обычно проверяются известные методы решений. Но вместе с тем выполнение этих заданий требует определенной внимательности выпускников, т.к. в одних случаях нужно учесть область определения выражения, в других - сделать проверку найденных корней уравнения – следствия или отобрать значения, исходя из ограничений данных в условии задачи.

Согласно критериям проверки этих заданий, положительно оцениваются (выставляется 1 или 2 балла) те работы, в которых очевидно показано владение методом, проверка выполнения дополнительных ограничений, внесенных в ходе решения, учет условий задачи и т.п. Различие в выставлении 1 или 2 баллов состоит в том, что на оценку в 1 балл допускается вычислительная ошибка или описка, не влияющая на дальнейший ход решения задачи. Однако при перепроверке работ выпускников обнаруживается, что эксперты (а это учителя школ) к опискам относят неверно выполненные отдельные действия, входящие в состав стандартных алгоритмов; отсутствие отдельных шагов стандартных алгоритмов и пр. Например, отсутствие исследования на пригодность корней уравнения-следствия; отсутствие указания числового промежутка при раскрытии знака модуля, приводящее к появлению посторонних корней и пр. Наличие указанных недочетов в решениях выпускников сигнализирует нам о необходимости обращения внимания к математически грамотному оформлению записи решения математических задач. Не нужно давать и разучивать с учащимися образцы решений, не нужно «канонизировать» какие-то эталоны, решения у разных учеников могут и, по-видимому, должны быть различными, единственным критерием их оценки должна быть математическая грамотность записи решения.

Нельзя не заметить, что указанные проблемы не являются новыми, возникшими только в ходе ЕГЭ 2006 г. О большинстве из них уже говорилось в методических письмах, подготовленных на основе итогов ЕГЭ 2003 и 2005 г.г. Напомним, что в этих письмах указывались направления совершенствования преподавания: активнее включать в учебный процесс идеи дифференцированного обучения (дифференциация требований в процессе обучения, разноуровневый контроль); использовать практические разработки по индивидуализации обучения (создание индивидуальных модулей обучения); учитывать рекомендации психологов по организации усвоения и пр.

Хотя болевые точки выявлены и рекомендации предложены, но, как показывает опыт, положительных результатов трудно ожидать в течение двух и даже трех лет, т.к. математика является таким предметом, где невероятно сильна преемственность в обучении. Чтобы получить высокие результаты в средней школе, нужно добиться успешного овладения теми результатами, которые формируются в основной школе.

К таким важным результатам обучения математике в 5-6 классах и алгебре в 7-9 классах относятся умения:

• выполнять вычисления с обыкновенными и десятичными дробями,

• преобразовывать многочлены, алгебраические дроби, степени с целыми показателями и квадратные корни,

• решать линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения и неравенства,

• читать свойства функций по их графикам, исследовать отдельные свойства функций аналитически.

Учителям математики, начинающим работу в 10 классе и готовящим выпускников к итоговой аттестации, необходимо в начале учебного года получить достоверную информацию об уровне подготовки десятиклассников по основным разделам курса алгебры основной школы и своевременно организовать работу по ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Этой цели служит организация вводного повторения материала курса алгебры 7-9 классов. Исходя из результатов, получаемых ежегодно на едином экзамене по математике, можно предложить следующую тематику вводного повторения.

Основные вопросы повторения	Вспомогательный материал
Преобразования одночленов, многочленов, алгебраических дробей и арифметических квадратных корней	– свойства степеней с одинаковыми основаниями, – формулы сокращенного умножения, – правила сложения (вычитания), умножения многочленов, – свойства арифметического квадратного корня, – действия с десятичными и обыкновенными дробями
Решение линейных и квадратных уравнений и неравенств. Решение дробно-рациональных уравнений	– теоремы о равносильных преобразованиях уравнений и неравенств, – формула корней квадратного уравнения, – действия с десятичными и обыкновенными дробями
Линейная и квадратичная функции, их свойства и графики Функции вида и , их свойства и графики	– нахождение значений функции, нулей функции, промежутков знакопостоянства (аналитически и графически), – чтение по графику свойств функций, – действия с десятичными и обыкновенными дробями

Вполне понятно, что решить проблему ликвидации пробелов в знаниях десятиклассников по курсу алгебры основной школы только с помощью организации вводного повторения не удастся. Поэтому целесообразно организовать еще и индивидуальное повторение, учитывающее пробелы в знаниях и умениях конкретного ученика, и с помощью диагностических работ систематически фиксировать продвижение старшеклассника по пути достижения уровня запланированных требований.

Итак, для успешной подготовки к итоговой аттестации в старших классах необходимо целенаправленное вводное повторение разделов курса алгебры 7-9 классов (математики 5-6 классов) и систематический мониторинг продвижения отдельных учеников по ликвидации пробелов за основную школу.

Вместе с тем не стоит забывать, что курс алгебры и начал анализа отличается не только преемственностью с курсом математики 5-6 классов и курсом алгебры 7-9 классов, но и преемственными связями между различными разделами внутри самого курса. Поэтому для обеспечения прочного овладения всеми выпускниками основными элементами содержания, изучаемыми в старшей школе не только на базовом, но и на повышенном уровне, нужно проводить систематическое повторение пройденного. Во многих учебниках, входящих в федеральный комплект учебников, такое повторение обеспечивается системой упражнений, рекомендованных для домашней работы. Обычно эти упражнения достаточно объемны, трудоемки и требуют письменного выполнения. Одним из возможных альтернативных путей организации текущего повторения может быть использование в ходе обучения устных упражнений.

Устные упражнения традиционно включаются в учебный процесс на уроках математики в основной школе, но, как показывает практика, недостаточно используются в старших классах. Устные упражнения, проводимые обычно в начале урока, имеют своей основной целью актуализацию знаний, необходимых для последующего объяснения учителя. Вместе с тем они могут выполнять и другие функции, например, использоваться для первичного закреплении материала, при опросе (фронтальном и индивидуальном).

При разработке содержания и формы представления устных упражнений следует позаботиться об обеспечении простоты «технических» преобразований и вычислений, необходимых для их выполнения. Этот подход позволит сосредоточить внимание учащихся на смысловой стороне их выполнения, то есть на определении метода их решения. Кроме того, простота технической стороны устных упражнений позволяет с их помощью моделировать различные нестандартные ситуации применения тех или иных знаний (теоретического материала)⁵, в которых центр тяжести сосредоточен на конструировании нового метода и не осложнен сопутствующими (второстепенными) деталями. Так, подводя учащихся к поиску решения нестандартного уравнения⁶, можно в устных упражнениях обсудить сущность соответствующего метода решения, например, на заданиях типа:

– решите уравнение

– решите уравнение .

Таким образом, учитель сможет связать учебный материал из различных разделов курса, обеспечивая, с одной стороны, систематическое повторение, а с другой стороны, мотивируя более подготовленных учащихся к решению задач повышенной сложности.

Отдавая должное вводному и систематическому текущему повторению, нельзя переоценить важность и значение итогового повторения, в ходе которого осуществляется систематизация знаний по мере изучения всего курса.