Курс геометрии

Количество геометрических задач среди заданий в вариантах экзаменационной работы в течение трех последних лет проведения ЕГЭ остается постоянным. В каждый вариант включается одна планиметрическая задача (повышенного уровня сложности) и две стереометрические задачи (повышенного и высокого уровня сложности). Обе задачи повышенного уровня – это задания с кратким ответом, то есть учащийся должен записать только полученный им ответ. При выполнении стереометрической задачи высокого уровня требуется записать и само решение.

Как уже отмечалось выше участники экзамена 2006 года, как и в предыдущие годы, показали невысокие результаты при решении геометрических задач. При этом большое число учащихся либо не дали никакого ответа к задачам повышенного и высокого уровня, либо вообще не приступали к их выполнению. При интерпретации этого факта следует иметь в виду, что задания по геометрии в вариантах КИМ не только отражают повышенный уровень требований к математической подготовке выпускников, но и относятся к «абитуриентским» заданиям, выполнение которых не учитывается при выставлении аттестационных отметок по курсу алгебры и начал анализа. Поэтому значительное число учащихся, которые вообще не дали никакого ответа на геометрические задания, объясняется двумя причинами. Во-первых, результаты экзамена показывают, что некоторые учащиеся, приступившие к решению, не смогли довести его до получения ответа. Во-вторых, многие выпускники вообще не приступают к решению, если они не предполагают поступать в вузы, в которых нужно сдавать экзамен по математике, и участвуют в ЕГЭ с целью получения аттестационной отметки по алгебре.

Кроме того, часть учащихся получила при решении задач неверный ответ. Заметим, что пытаются решить геометрическую задачу, как правило, достаточно сильные выпускники. Однако многим из них не хватает знаний или умений применить свои знания. Так, со многими геометрическими задачами повышенного уровня справились меньше половины даже среди учеников с «хорошей» и «высокой» подготовкой по математике.

Задачи по планиметрии, которые используются на вступительных испытаниях в вузы, как правило, требуют применения сведений из разных разделов курса. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности свойств рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться и в разных классах основной и старшей школы. Это характерно для задач, включаемых в варианты ЕГЭ, решение которых состоит из небольшого числа вычислительных шагов, но требует применения 2-3 геометрических фактов из разных разделов курса. Например, в 2006 году предлагались задачи такого типа: «В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника CDP, если DК = 18, РК = 24, AD = 15». Для решения такой задачи «на параллелограмм» нужно было применить признак подобия треугольников, свойство углов при параллельных прямых и секущей и признак равнобедренного треугольника. Такие задачи отличаются от большинства обычных учебных задач, направленных на отработку материала темы, изучающейся в данный момент.

Кроме того, абитуриентские задания выбираются из задач, в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Поэтому даже при небольшом числе шагов решения они трудны для многих учащихся.

В связи с этим представляется важным формировать у учащихся системные знания о свойствах фигур. Конечно, при изучении каждой конкретной темы основное внимание уделяется вновь изучаемому материалу. Но вместе с тем очень важно установить взаимосвязи нового материала с тем материалом, который изучался ранее в связи с рассматриваемой фигурой. Например, при изучении окружностей, вписанных в треугольник или описанных около треугольника, рассматривается вопрос о положении центров таких окружностей: в первом случае в точке пересечения биссектрис треугольника, во втором – в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Если при этом вспомнить изучавшиеся до этого свойства равнобедренных и равносторонних треугольников, то они пополнятся фактом о расположении центров вписанной и описанной окружностей на высоте, проведенной к основанию.

Кроме того, при совместном с учащимися решении задач в классе необходимо помнить, что цель этой работы состоит не в том, чтобы решить конкретную задачу, а в том, чтобы сформировать умения решать подобные задачи. Поэтому, рассматривая данную конфигурацию, нужно обращать внимание учащихся на то, какие геометрические факты можно было бы применить для решения задачи и на выбор способа решения.

Особая роль в формировании системных знаний об изученных в курсе фигурах отводится повторению материала. Именно при повторении, когда нет необходимости рассматривать материал в том порядке, который обусловлен логикой построения теоретической линии курса, можно выстроить последовательность рассмотрения материала, группируя его вокруг определенных фигур (треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность и т.п.). Ниже приводятся примерные темы такого повторения и связанный с ними материал.

Тема	Основное содержание
Окружность	Свойства касательных, положение центра по отношению к пересекающимся касательным, свойство хорды, перпендикулярной радиусу, положение центра по отношению к хорде, свойства пересекающихся хорд и секущих, вписанные и центральные углы, длина окружности и дуги окружности, площадь круга и площади сектора и сегмента
Треугольники
Произвольный остроугольный или тупоугольный треугольник	Равенство треугольников, сумма углов треугольника, свойство точки пересечения медиан, свойство биссектрисы треугольника, высота в остроугольном и в тупоугольном треугольнике, подобие треугольников, площадь треугольника (формулы для вычисления площади треугольника, площади подобных треугольников и треугольников с общей высотой, метод площадей), решение косоугольных треугольников, вписанные и описанные треугольники (положение центра окружности, формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей)
Прямоугольный треугольник	Равенство прямоугольных треугольников, решение прямоугольных треугольников (теорема Пифагора и определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника), пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, свойство медианы, проведенной к гипотенузе. Сумма углов в прямоугольном треугольнике, подобие прямоугольных треугольников, формулы для вычисления площади, вписанные и описанные прямоугольные треугольники (положение центра окружности, формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей)
Равнобедренный треугольник	Свойство углов при основании, свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведенных к основанию, равенство двух медиан (биссектрис, высот), проведенных к боковым сторонам. Положение центров вписанной и описанной окружности, решение косоугольных и прямоугольных треугольников для вычисления элементов равнобедренного треугольника, подобие треугольников Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника
Правильный треугольник	Углы правильного треугольника, медианы, биссектрисы и высоты, положение центра правильного треугольника и вычисление его элементов и площади
Четырехугольники
Параллелограмм и его виды (прямоугольник, ромб, квадрат)	Свойства сторон и углов параллелограмма, его признаки. Свойство диагоналей. Соотношение между квадратами диагоналей и сторон параллелограмма, метод удвоения медианы треугольника. Формулы площади параллелограмма. Свойство биссектрисы угла параллелограмма. Свойство диагоналей прямоугольника, признаки прямоугольника. Свойство диагоналей ромба, признаки ромба. Формулы для вычисления площади ромба. Свойства и признаки квадрата. Вписанные в окружность и описанные около окружности виды параллелограммов
Трапеция	Свойства средней линии трапеции, формула площади трапеции, равнобедренная трапеция и ее свойства. Трапеция, вписанная в окружность и описанная около окружности и их свойства
Многоугольники	Сумма углов многоугольника, сумма его внешних углов. Свойства правильных многоугольников

Как известно, в современных учебниках к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство, а это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты. Вместе с тем владение этими фактами значительно сокращает время, необходимое для решения задачи. Поэтому в ходе повторения, кроме «законных» теорем, нужно повторить и такого рода дополняющие их утверждения. Так, например, о равнобедренной трапеции в качестве задач формулируются очень важные для решения задач свойства.

1) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = а и ВС = b основание высоты ВН делит основание AD на отрезки: АН = , DH = = m, где m – средняя линия трапеции.

При повторении курса стереометрии тоже полезно группировать материал вокруг определенных фигур (пирамиды, призмы, конуса и т.п.). Рассматривая те или иные фигуры, необходимо не только вспомнить свойства фигуры и формулы боковой поверхности и объема, но также повторить те геометрические факты, которые используются для определения элементов данной фигуры.

Тема	Основное содержание
Многогранники
Призма (правильная, прямая, наклонная)	Сечение призмы плоскостью. Площадь боковой и полной поверхностей призмы. Объем призмы. Угол между прямой и плоскостью (диагональю призмы или грани и плоскостью основания, ребром основания и боковой гранью); угол между плоскостями (плоскостью сечения и плоскостью основания, плоскостью диагонального сечения и плоскостью боковой грани); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (ребрами оснований, ребром основания и диагональю грани)
Пирамида (правильная, с равными ребрами, с одинаковыми углами между плоскостями боковых граней и плоскостью основания)	Сечение пирамиды плоскостью. Усеченная пирамида. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды. Объем пирамиды. Угол между прямой и плоскостью (боковым ребром или высотой боковой грани и плоскостью основания, ребром основания и плоскостью боковой грани); угол между плоскостями (боковых граней и основания, сечения и основания, двух боковых граней с общим ребром); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (боковым ребром или высотой пирамиды и ребром или диагональю основания)
Тела вращения
Прямой круговой цилиндр	Сечение цилиндра плоскостью. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра. Объем цилиндра. Угол между прямой и плоскостью (прямой в секущей плоскости и плоскостью основания); угол между плоскостями (сечения и основания); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (хордами двух оснований)
Прямой круговой конус	Сечение плоскостью. Усеченный конус. Площадь боковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса. Угол между прямой и плоскостью (образующей и плоскостью основания); угол между плоскостями (сечения и основания); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (образующей и хордой основания)
Шар и сфера	Сечение плоскостью. Площадь поверхности. Объем шара. Свойства фигуры, вписанной в сферу. Касательная плоскость

Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах ЕГЭ (как и в вариантах многих вступительных экзаменов в вузы), тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Поэтому еще раз подчеркнем высказанную ранее мысль: очень важно при изучении каждого вида многогранников и тел вращения, а также при повторении материала обращать внимание учащихся на использование изученных ранее геометрических фактов для вычисления элементов рассматриваемой фигуры.

Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников. Поэтому необходимо наиболее часто используемые сведения из планиметрии восстанавливать в памяти учащихся при изучении стереометрии. При этом более продуктивным является постепенное (и возможно, неоднократное) повторение тех вопросов, которые актуальны для изучаемого стереометрического материала. Например, при изучении параллельности прямых и плоскостей целесообразно повторить; свойства углов при параллельных прямых и секущей, свойства средних линий треугольника и трапеции, признаки подобия треугольников, а при изучении перпендикулярности прямых и плоскостей – определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, свойства треугольников и четырехугольников, связанные с перпендикулярностью. В дальнейшем часть из этих сведений, наиболее важную для решения задач, полезно повторять при изучении многогранников и тел вращения.

Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, предполагая, что задачи очень трудные, не пытаются их решить. Здесь, видимо, могло бы помочь более активное ознакомление учащихся с задачами, которые использовались в вариантах прошлых лет. Такие задачи представлены в сборниках, содержащих задания и варианты контрольных измерительных материалов, использованных при проведении ЕГЭ. Знакомясь с ними, учащиеся не только повторят некоторые геометрические сведения и приемы решения, но также увидят, что задачи по планиметрии при рациональном способе решения не требуют длинной цепочки рассуждений и выкладок, а стереометрические задачи повышенного уровня построены на достаточно типичных ситуациях и тоже решаются в 2-3 действия.

Следует отметить, что в методической литературе в настоящее время имеется очень много пособий, предназначенных для подготовки к сдаче ЕГЭ. При этом довольно часто предлагаемые в них задания отражают взгляд автора на то, какие задачи должен уметь решать выпускник, чтобы сдать этот экзамен. Не обсуждая вопрос о правильности авторской позиции, отметим, что с точки зрения информирования учащихся об уровне сложности задач и широте используемого содержания в процессе обучения целесообразно рассматривать задачи, непосредственно использовавшиеся в вариантах ЕГЭ.

Поскольку речь идет о задачах повышенного и высокого уровня сложности, то, естественно, на уроках геометрии в массовой общеобразовательной школе нет возможности рассматривать большое число таких задач. Поэтому можно некоторую их часть использовать для работы со всем классом, но, кроме того, предусмотреть их включение в индивидуальные задания (в классе и для домашней работы) для более подготовленных или просто желающих учащихся.

Организация подготовки к ЕГЭ может производиться в рамках факультативного курса с привлечением возможностей компьютерных технологий. Изучение такого курса предполагает обеспечение положительной мотивации учащихся на повторение ранее изученного материала, выделение узловых вопросов программы, предназначенных для повторения, использование схем, моделей, опорных конспектов, справочников, компьютерных тестов (в том числе интерактивных), самостоятельное составление (моделирование) тестов аналогичных заданиям ЕГЭ.

Цели и задачи курса:

Овладение учащимися необходимым количеством знаний и умений, которое соответствует требованиям государственного образовательного стандарта и достаточно для получения положительной оценки по предмету через:

• Планирование курса с учётом психологических особенностей учащихся

• Увеличение доли развивающего и общекультурного направления обучения, в разумном ограничении технических умений.

►Формирование навыков перевода различных задач на язык математики. Использование компьютерного практикума позволяет закрепить каждый блока

выполнением практической работы на компьютере.

Курс содержит большое количество заданий разного уровня сложности. Это позволяет построить для каждого учащегося индивидуальную образовательную траекторию. Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися практических заданий. Представлений презентаций.

►Разработка технологий, которые позволяют целенаправленно организовать повторение всего учебного материала.

► Разработка системы тестовых задач с использованием информационных технологий.

• Разработка системы задач, направленных на активизацию мыслительной деятельности учащихся на занятиях и в процессе самостоятельного приобретения знаний учащихся по основным вопросам школьного курса математики.

• Использование повторения «по спирали».

• Моделирование тестовых заданий ЕГЭ

• Учебно-тематический план:

• семинарские занятия - 16 часов,

• работа с литературой - 4 часа,

• работа с компьютером - 8 часов,

• работа с проектами и презентациями - 4 часа,

моделирование тестов - 4 часа.№	Тема	Кол-во часов
1	Выражения и их преобразования.	б
	Семинарские занятия	2
	Работа с литературой	1
	Работа с компьютером	1
	Работа с проектами и презентациями	2
	Моделирование тестов	-
2	Уравнения.	9
	Семинарские занятия	4
	Работа с литературой	1
	Работа с компьютером	2
	Работа с проектами и презентациями	-
	Моделирование тестов	2
3.	Неравенства.	б
	Семинарские занятия	3
	Работа с литературой	1
	Работа с компьютером	2
	Работа с проектами и презентациями	-
	Моделирование тестов	-
4	Функции, их графики.	9
	Семинарские занятия	4
	Работа с литературой	-
	Работа с компьютером	3
	Работа с проектами и презентациями	1
	Моделирование тестов	1
5	Производная. Первообразная и интеграл.	б
	Семинарские занятия	3
	Работа с литературой	1
	Работа с компьютером	-
	Работа с проектами и презентациями	1
	Моделирование тестов	1

Итого 36 час.

Содержание изучаемого курса

Первое занятие предполагает проведение входного контроля. На основе анализа результатов которого, определяется начальный уровень сложности материала повторения, определяются проблемные темы, корректируется расстановка акцентов в содержании каждого блока.

Результаты входного контроля предполагается предложить проанализировать самим детям. Каждый ученик определяет для себя наиболее «успешные» типы заданий, в дополнительно предложенных вариантах выделяет такие задания и прорешивает.

I. Выражения и их преобразования.

1. Преобразование выражений, содержащих степени и корни (свойства степени с рациональным показателем, свойства корня n-ой степени).

2. Преобразование тригонометрических выражений (понятие тригонометрические функции числового аргумента, соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента, формулы приведения, формулы сложения и их следствия).

3. Преобразование выражений, содержащих логарифмы (понятие логарифма, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество).

П.Уравнения.

1. Рациональные уравнения (виды рациональных уравнений, на их примере повторяются основные методы решения уравнений).

2. Тригонометрические уравнения (аркфункции, формулы корней тригонометрических уравнений, существование корней тригонометрических уравнений).

3. Показательные уравнения (использование свойств показательной функции для решения уравнений).

4. Логарифмические уравнения (использование свойств логарифмической функции для решения уравнений).

5. Иррациональные уравнения (равносильность при выполнении преобразований).

6. Системы уравнений.

Ш.Неравенства (основные методы решения неравенств, метод интервалов, методы решения основанные на свойствах функций).

1. Рациональные неравенства.

2. Показательные неравенства.

3. Логарифмические неравенства. IV.Функции, их графики.

1. Область определения, область значения функции.

1. Основные свойства функций (непрерывность, монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение функции, значение функции в особых точках, связь свойств функции и графика, сохранение знака функции).

2. Графики функций (чтение графиков, построение графиков).

V. Производная (таблица производных элементарных функции, геометрический и физический смысл производной, правила нахождения производных, производная сложной функции, применение производной к исследованию функции). Первообразная и интеграл (первообразная основных элементарных функций, правила нахождения первообразных, задачи о площади криволинейной трапеции).

Содержание материала каждого блока предполагается систематизировать в таблице:

Стержневые линии	Ведущие знания	Второсте пенные знания	Сопутству ющее повторение	Трудно усваиваемые темы	Затруднения и пути их преодоления

Для самостоятельной работы учащихся предполагается предложить карточки в виде таблицы, предварительно разбив содержание каждого блока на учебные элементы. На основе сформулированной цели каждого учебного элемента и определённого содержания сформулировать рекомендации.

Учебный элемент	Учебный материал с указанием заданий	Советы учителя

К каждому виду учебного элемента прилагается систематизированный справочный материал, примеры на применение каждого вида справочного материала, варианты разного уровня заданий для самостоятельной работы и набор заданий для самостоятельного составления теста.