I. Действия учителя, связанные с анализом теоретического материала темы

1. Выделение дидактических единиц темы: определений понятий, теорем, правил. Последние, как было отмечено в п. 2.3 не всегда явно представлены в учебнике. Математической основой многих правил являются определения понятий или теоремы.

2. Установление новых для учащихся методологических знаний. Относительно определений новыми могут быть:

— логическая структура определения понятия (конъюнктивная или дизъюнктивная);

—впервые встречающееся определение, содержащее явно или неявно выраженные знаки существования или общности;

—способ получения видовых отличий (через отрицание или построение);

—формы понятия: вербальная, символическая, графическая, натуральная, образная; связи между ними;

—выяснение вопроса о существовании понятия; анализ возможностей равносильных определений одному и тому же понятию;

—изучение вопроса, связанного с обучением логическим умениям выводить следствия и подводить под понятие различных форм при ра­боте с определением.

Относительно теорем это могут быть:

—впервые встречающееся понятие теоремы, а значит, логической структуры ее формулировки (условие, заключение, разъяснительная часть), сущность доказательства;

—изучение вопроса, связанного с обучением логическим умениям выводить следствия или подводить под понятие различных форм при работе с теоремой,

—понятия обратной (противоположной) теоремы, критерия (возможность давать одному и тому же понятию равносильные определения),

—общелогические методы доказательств теорем (синтетический, аналитический, в частности метод от противного, метод полной индукции, метод исчерпывающих проб, метод математической индукции, метод приведения примера иди контрпримера);

—частные методы доказательств теорем (метод равных или подобных треугольников, метод площадей, векторный и координатный методы и др.— в геометрии; метод подстановок, метод разложения на множители, выделение квадрата двучлена и др. —в алгебре);

—приемы доказательств теорем (прием наложения, прием введения вспомогательного элемента-отрезка, угла, треугольника и т. д., приемы дополнительных построений и др. — в геометрии; прием введения npoмежуточной величины, представление дроби в виде суммы двух дробей, приемы отбора корней и др. — в алгебре);

3. Выявление уже встречавшихся ранее учащимися методологических знаний, для дальнейшего формирования которых в теме имеются объективные предпосылки.

4. Выделение внутритемных и межтемных связей нового теоретического материала с ранее изученным с целью выбора гипотетико-дедуктивных методов, способов получения новых определений, теорем, правил на этапах "открытия" их формулировок, а также поиска доказательств теорем.

5. Установление возможностей привлечения теоретического материала с целью знакомства с историей развития понятия, с тем или иным новым для учеников методом доказательств теорем, который не отражен в школьном учебнике.

6. Анализ возможностей для формирования учебного действия моделирования путем привлечения дополнительного практического материала, иллюстрирующего применение различных определений понятий, теорем, правил.

В качестве примера рассмотрим тему "Параллельные прямые" (VII класс) в учебнике геометрии [10].

Проведем анализ теоретического материала с методологических позиций.

1. Выделим основные дидактические единицы:

• определение параллельных прямых;

• новые общелогические понятия: аксиома, условие и заключение теоремы; теорема, обратная данной; следствие; метод доказательства от противного:

• аксиома параллельных прямых;

• теоремы: три признака и три свойства параллельных прямых, два следствия из аксиомы параллельных прямых;

• правила построения параллельных прямых.

2. Существование параллельных прямых доказано ранее [10, п. 12] (две прямые плоскости, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Следовательно, прежде чем ввести определение параллельных прямых, надо повторить известное ученикам утверждение. Определение параллельных прямых дано через род и видовые отличия, одно из них впервые формулируется через отрицание. Данное понятие представлено в четырех формах: натуральной, графической, вербальной и символической. Имеются большие возможности для формирования логических умений выводить следствия и подводить под определение понятия, причем, примеры и контрпримеры к понятию должны быть представлены в различных формах, целесообразно использовать каркасные модели раз­личных пирамид и призм. Система упражнений на этапе осмысления определения (п. 2.1) должна формировать у школьников критериальную его сущность. В более сильном классе после изучения признаков и свойств параллельных прямых появляется возможность провести разго­вор о неоднозначности определения одного и того же понятия.

3. В этой теме впервые явно идет речь об аксиомах. Учащимся необходимо напомнишь уже изученные аксиомы (например, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну, рассказать об их происхождении, о роли аксиом вообще и аксиомы параллельности в частности, о Евклиде, его геометрии и возможных других геометриях.

4. Впервые вводится понятие теоремы, обратной данной. Уместно выделить правило формулирования предложения, обратного данной простой теореме, т. е. теореме, в условии и заключении которой по одному элементу:

1. Сформулируй данную теорему в условной форме (если.... то...), если она задана в категоричной форме.

2. Выдели в теореме условие и заключение.

3. Поменяй местами условие и заключение.

4. Сформулируй обратное утверждение.

Учитель должен обратить внимание на следующий момент: не всегда предложения, обратные теоремам, являются истинными, для их опровержения достаточно привести один контрпример. Для формирования понятия теоремы, обратной данной, следует привлекать материал из других тем. Таким образом, ученики будут понимать, что это понятие относится к общелогическим. Заметим, что понятие теоремы, обратной данной, может быть введено ранее (например, при изучении темы "Делимость чисел" в V-VI классах).

В данной теме три теоремы — свойства параллельных прямых — являются теоремами, обратными к признакам параллельных прямых. Первое свойство доказывается методом от противного, два других свойства доказываются обращением цепочки доказательств соответствующих признаков. Поэтому важно обратить внимание учащихся на методы доказательств обратных теорем: или метод от противного, или метод обращения цепочки рассуждений "прямой" теоремы — появляется возможность обучать учащихся выбирать методы доказательств обратных теорем. В дальнейшем это умение будет формироваться при решении задач и изучении других тем.

5.Три теоремы в теме доказываются методом от противного: два следствия из аксиомы параллельных прямых и первое свойство параллельных прямых. Следовательно, в теме имеются объективные предпосылки для формирования у учащихся умений применять этот метод рассуждений. Заметим, что и утверждение о существовании параллельных прямых также доказывается методом от противного. Значит, целесообразно в начале изучения темы не только повторить суть этого утверждения, но и выполнить его доказательство. Более того, желательно выделить и зафиксировать письменно схему доказательства методом от противного:

1) Выделить условие и заключение теоремы.

2. Предположить противное (противоположное) тому, что требуется доказать,

3. Вывести следствия из полученного суждения.

4. Получить противоречие с уже известным математическим предложением (определением, аксиомой, теоремой) или условием.

5. Сделать заключение о том, что предположение неверно.

6)Сделать вывод о верности того, что требовалось доказать. Заметим, что уточнения в п. 4 приведенной схемы появляются позже, после введения понятия аксиомы и доказательств следствий из аксиомы параллельных прямых.

6. Теоретический материал темы содержит большой потенциал, который может быть направлен на овладение учащимися гипотетико-дедуктивными методами на этапе "открытия" новых фактов, закономерностей, доказательств.

Так, с помощью конструктивного диктанта под руководством учителя учащиеся могут создать графическую модель к первому признаку параллельных прямых. Анализируя ее, они подходят к "открытию" формулировки первого признака.

Опираясь на аналогию, интуицию, опыт, учащиеся могут "открыть" формулировки других двух признаков параллельных прямых. Возможен и другой вариант: предложить два признака в форме задач, тогда формулировки теорем появятся по окончании решения задач. В развивающем плане предпочтителен первый подход.

Следствия из аксиомы параллельных прямых могут быть предложены учащимся как задачи, исследовательского характера: "Как расположены прямые, если.. ?" Они являются одновременно упражнениями для осознания самой аксиомы параллельных прямых.

После введения понятия теоремы, обратной данной, учащиеся смогут предложить формулировки свойств параллельных прямых самостоятельно

7.Имеется возможность в той или иной степени включить школьников в поиск доказательств теорем.

Первый признак доказывается с применением приема дополнительных построений, идея доказательства — свести к свойству прямых, перпендикулярных к одной и той же прямой. Доказательство многошаговое, поэтому, как показывает опыт, вызывает у семиклассников большие трудности. Следовательно, уместно прибегнуть к поиску доказательства признака аналитико-синтетическим методом, обосновав необходимость дополнительных построений. Степень самостоятельной поисковой деятельности школьников* пока будет невысокой.

Доказательство двух оставшихся признаков может быть проведено синтетическим методом в условиях самостоятельной деятельности учащихся.

О методике проведения доказательств других теорем речь шла выше.

8.Правила построения прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку, с помощью чертежного угольника и линейки

желательно выделить в форме алгоритма с соответствующими покадровыми рисунками. Обратить внимание учащихся на обоснование правильности построений. Такая работа направлена на развитие мыслительных приемов анализа и синтеза, обобщения, абстрагирования, так как при обосновании надо "увидеть" на рисунке неявно заданные прямые углы.

В заключение отметим, что в данной теме уровень строгости логических рассуждений значительно повышается (в сравнении с Предыдущей темой — признаками равенства треугольников). Материал темы организован строго дедуктивно — главным понятиям темы даются определения, теоремы доказываются. Следовательно, тема содержит большие возможности для формирования математического стиля мышления. Более того, компактное ее изучение на основе метода укрупнения дидактических единиц (в частности, одновременное изучение взаимно обратных теорем) позволит создать у школьников целостное представление о теме, о возможности строго логического построения всего курса геометрии, позволит учащимся почувствовать красоту и гармонию такого построения.