III Ключ к тестовым заданиям и некоторые выводы по вариантам неверных (неполных) ответов

№ задания	Верный ответ	Варианты неверных или неполных ответов, комментарии к ним
1	б,в	Только б или только в — ученик не владеет операцией выбора неизвестной по условию текстовой задачи, не осознает возможность составления различных видов уравнений в зависимости от выбора неизвестной; а или г — неверно переводит зависимости между величинами на математический язык.
2	б, г	Только б или только г — как и в.задании № 1, не осознает неоднозначность вида уравнений в зависимости от выбора неизвестной; а или в—неверно переводит зависимости между величинами.
3	в	а или б – не владеет алгоритмом решения задачи на изменение величины в процентах; г — скорее всего неверно истолкован термин "максимально заявленная стоимость", не умеет сделать проверку полученного результата; д — не усвоены понятия, связанные с процентом, нахождением процента от числа и т. п..
4	1-г, 2-в	1-6 или 1-д — неверно переводит первое предложение математический язык; в случае верного решения задачи № 3 — не видит связи с аналогичным предложе­нием в задаче № 4; 2-а — неверно установлена зависимость между величин нами. Во всех остальных случаях можно констатировать неумение учащихся оперировать с процентами и непонимание зависимостей между величинами в задачах, на изменение величины в процентах.
5	а, в, д	а, в, г, д — указывает лишнее условие г, т. е. не осознает что условие делимости на З следует из условия дели­мости на 9, а умножение на 2 ничего существенного не добавляет к свойствам натуральных чисел в контексте задачи.. а, в, г — рассуждение не доведено до конца, не решено составленное уравнение для определения третьего свойства искомого числа, выбрано в, г, д — исследование свойств искомого числа проведено лишь условие г; по внешним числовым данным, не выявлены все свойства, видимо, не составлялось уравнение по условию задачи. Все другие наборы ответов свидетельствуют о несформированности действия моделирования и исследования построенной модели, в частности, о непонимании роли уравнений как математической модели для исследования реальной ситуации.

Выскажем общие замечания по обработке результатов этого теста. Так как целью данного пакета заданий не является проверка обязательных результатов обучения по данной теме, то в нем отсутствуют задачи, подобные тем, что использовались при обучении.

Для проверки понимания учащимися роли уравнений при решении текстовых задач составлены задания, знакомые им по фабуле (сюжету), но отличающиеся требованием (за исключением третьего задания).

При выполнении 1-го и 2-го заданий испытуемые ставятся в ситуацию составления уравнений, когда за неизвестную можно принять любую из величин. Поэтому результативное выполнение этих заданий связано, на наш взгляд, с пониманием и осознанием школьниками идеи неоднозначности алгебраической модели, т. е. зависимости вида уравнения от выбора неизвестной.

Задачу № 3 учащиеся могут решать арифметически, т. е. путем рассуждений, не прибегая к составлению уравнения. Однако, по результатам выполнения этого задания можно выделить тех учащихся, которые использовали алгебраический способ решения известной арифметической задачи. Фактически, можно выделить тех, кто пусть пока и неосознанно, но воспользовался идеей моделирования словесно описанной ситуации.

, В задании № 4 учащиеся целенаправленно ставятся в ситуацию необходимости моделирования конкретных предложений. Причем задание 4.1 аналогично по структуре взаимосвязей между величинами с задачей № 3.

Результаты выполнения 3-го и 4-го заданий позволят выявить тех учащихся, которые умеют выделить величины, установить между ними зависимость вида "изменение величины в процентах" на естественном языке, а затем перевести ее на математический язык, т. е. записать ход

решения подобных задач с помощью формулы и выразить одну величину через другую из полученной формулы.

В отличие от типовых задач из школьного, учебника задание № 5 сформулировано нестандартно как внешне, так и по существу. Во-первых, в нем отсутствует явно выраженное требование найти неизвестную величину. Во-вторых, задание ориентирует испытуемого на проведение самостоятельного исследования по получению новых свойств искомого числа. В-третьих, способ получения этих свойств напрямую связан с идеей применения уравнений к решению текстовых задач.

Приведем возможный вариант рассуждений при выполнении этого задания.

Пусть n— натуральное число, тогда

меньше n на 18.

Это предложение легко переводится на математический язык, например, так:

+18=n.

На основе анализа этого равенства можно сделать первый вывод: n>18.

Анализируем полученное уравнение как равенство и замечаем, что в силу того что числа п и 18 — натуральные, сумма, описанная и тексте задачи, тоже должна быть натуральным числом, т. е.

т.е. n должно делиться на 9.

Остается определить, каким является искомое число: четным или не­четным. Самый простой способ — решить уравнение

, откуда n = 81, следовательно, n — нечетное число.

ТРЕУГОЛЬНИКИ [10, гл. 11]