5.5. Оценка адекватности математической модели

Математические модели могут быть познавательными, нацеленными на изучение сущности процессов и явлений, протекающих в объекте, а также инфор­мационными, предназначенными для решения задач управления. Решение задачи управления технологическим объектом возможно и без точного знания механизма протекающих в нем физико-химических превращений. Более то­го, чем сложнее математическая модель, тем более сомнительна возможность успешного ее использования для решения задач управления.

Таким образом, учитывая чрезвычайно сложный стохастический характер реальных технологических объектов, можно заключить, что построение полностью изоморфных им математических моделей практически едва ли возможно, а для ре­шения задач управления и не является необходимым. На практике прихо­дится обычно ограничиваться неизоморфными или так называе­мыми гомоморфными моделями, которые несколько упрощенно отражают наиболее существенные стороны функционирования объекта. При этом важным является вопрос о выборе уров­ня гомоморфизма, т. е. уровня приближения к действительности, при котором еще можно достигнуть достоверных результатов.

Вполне приемлемой для решения задачи управления была бы ма­тематическая модель, включающая подконтрольные оператору переменные, оказывающие значимое влияние на выходную пере­менную, и такая, что при любом сочетании входных контроли­руемых и управляющих переменных выход модели был бы в не­котором смысле близок к выходу объекта. При этом желательно, чтобы параметры модели могли быть оценены наиболее дешевым и простым способом, т. е. чтобы построе­ние модели не требовало проведения дорогостоящих экспери­ментов, специального оборудования и т. п.

В общем случае оценивание параметров модели заданной структуры проводится путем минимизации выбранного критерия качества модели (чаще всего – среднего квадрата рассогласования выходов объекта и его постулируемой модели). Существует несколько возможных подходов к такому оцениванию, выбор среди которых для данного вида модели определяется по наименьшей вычислительной трудоемкости.

Так, оценки коэффициентов полиномов регрессионных моделей могут быть получены в результате дисперсионного анализа, основанного на вычислении отношения дисперсии отклонения (суммы квадратов отклонений выборочных средних, предсказываемых моделью, от эмпирической линии регрессии) к дисперсии рассеяния, вызванного экспериментальной погрешностью. Сравнение вычисленного отношения с табличным значением F-критерия Фишера позволяет либо принять гипотезу адекватности модели, либо ее отвергнуть.

Оценки коэффициентов полиномов других параметрических моделей могут быть найдены в результате решения оптимизационной задачи, возникающей после применения корреляционного, спектрального и других методов. Нахождение такого решения, как правило, численными методами нелинейной оптимизации, достаточно трудоемко. Заметим однако, что надежные алгоритмы оценивания параметров широко распространены и в настоящее время содержатся во многих пакетах прикладных программ [25].