Глава 6. Оптимизация технологических процессов

6.1. Характеристика методов оптимизации

Решение задачи управления предполагает активное воздействие на технологический процесс с целью достижения максимальной его эффективности. Для оценки эффективности функционирования технологических процессов вводят показатели качества, количественно выражаю­щие степень достижения определенной цели.

Формализация задачи управления качеством сводит ее к выработке критерия оптимальности для функцио­нирования технологического процесса. В целом ка­чество работы объекта характеризуется численным значением критерия, используемого для расчета управляющих воздейст­вий и зависящего от значений технологических параметров.

Общая формулировка задачи параметрической оптимизации сводится к нахождению набора параметров х = (х₁, х₂, …, х_n), который является оптимальным в смысле некоторого критерия (прил. В). В простейшем случае такая задача заключается в минимизации или максимизации некоторой (целевой) функции без каких-либо ограничений. В более сложных ситуациях на отмеченные параметры могут быть наложены некоторые ограничения в виде равенств, неравенств и параметрических границ.

Формулировка задачи параметрической оптимизации представляется следующим образом:

требуется найти вектор х, обеспечивающий

min f (x) при ограничениях

g_i(x) = 0 (i = 1, 2, …, m_e) (6.1)

g_i(x)  0 (i = m_e+1, …, m)

x_L x  x_U,

где х  вектор оптимизируемых параметров (х  Rⁿ); f(x)  скалярная целевая функция (критерий) векторного аргумента (f(x): Rⁿ  R); g_i(x)  также некоторые скалярные функции векторного аргумента; x_L, x_U  соответственно нижняя и верхняя границы области изменения аргумента. Заметим, что задача максимизации сводится к задаче минимизации заменой целевой функции f(x) на f(x).

Эффективность и точность решения данной задачи зависит как от числа параметров и ограничений, так и от вида целевой функции. При линейных ограничениях и линейной целевой функции приведенная задача называется задачей линейного программирования; при линейных ограничениях, но при квадратичной (по аргументу) целевой функции  задачей квадратичного программирования; в общем случае  это задача нелинейного программирования.

Существующие алгоритмы безусловной оптимизации могут быть разделены на две группы: алгоритмы, базирующиеся на использовании производных минимизируемой функции  градиентные и методы второго порядка; и безградиентные алгоритмы, использующие только значения функции.

В задачах оптимизации с ограничениями обычный подход в нахождении решения состоит в замене исходной задачи на задачу без ограничений (задачу безусловной оптимизации), например с помощью метода штрафных функций. В настоящее время, однако, более эффективным считается применение так называемых уравнений Куна-Таккера, при этом получаемая задача может быть решена любыми методами квадратичного программирования.

Качество работы реального объекта или системы часто оценивается совокупностью критериев (показателей качества), представляющихся одинаково значимыми. Это приводит к задаче оптимизации с векторной целевой функцией F(x) = {F₁(x), F₂(x),..., F_k(x)}, получившей название задачи многокритериальной или векторной оптимизации. Решение подобной задачи сводится к нахождению множества точек неулучшаемых решений (Парето-множеств), для чего используется метод взвешенной суммы частных критериев или метод -огра­ничений.

Для решения задач оптимизации с большим числом оптимизируемых факторов (тысячи) и нелинейным характером целевой функции ввиду существенных вычислительных затрат необходимо использование алгоритмов большой размерности. Данные алгоритмы основаны на введении так называемой области доверия, где рассматриваемая целевая функция f(x) может быть адекватно аппроксимирована более простой функцией.