6.2. Особенности оптимизационных задач управления

Возникающие в процессе формализации общей пробле­мы управления экстремальные задачи обладают особенно­стями, позволяющими выделить их среди всех задач нелинейной оптимизации. Основные особенности заключаются в сле­дующем.

1. Вычисление функционалов задачи связано с достаточно сложным и трудоемким решением соответствую­щей задачи анализа. Наиболее эффективными целесообразно считать алгоритмы, которые в процессе оптимизации наимень­шее число раз обращаются к вычислению значений минимизи­руемых функционалов.

2. Если оптимизируется сложная многопараметрическая си­стема, то ее обычно можно представить как некоторую совокуп­ность связанных подсистем меньшей размерности. Учет подоб­ной структуры системы позволяет строить более рациональные методы оптимального управления по сравнению с тради­ционными универсальными алгоритмами нелинейного програм­мирования.

3. Как свидетельствует практика оптимального управления различными технологическими объектами, возникающие оптими­зационные задачи являются, как правило, плохо обусловлен­ными. Это определяет характерную невыпуклую и овражную структуру минимизируемых функционалов и вызывает резкое замедление сходимости стандартных методов нели­нейной оптимизации.

Основная трудность при решении оптимизационных задач управления состоит в том, что они часто неразрешимы математически в силу сложности этого класса оптимизационных задач. Даже для гладких одноэкстремальных функционалов при большой размерности пространства управляемыx параметров скорость сходимости любого метода (равномерно по всем задачам) безнадежно мала. Поэтому попытка построить общий метод, эффективный для всех задач с гладкими невыпуклыми целевыми функционалами, теоретически заранее обречена на неудачу.

Однако на практике достаточно редко реализуются те специальные структуры невыпуклых задач, которые и приводят к пессимистическим теоретическим оценкам. Заметим, что именно так обстоит дело со знаменитым симплекс-методом линейного программирования: строгий теоретический анализ показывает (вопреки практике) его полную непригодность.

С позиций инженера-практика интерес представляет построение методов оптимизации, вырабатывающих эффективные направления поиска в точках пространства, где стандартные процедуры оказываются неработоспособными. Эта проблема решается на основе построения методов, которые как в выпуклой, так и в невыпуклой и одновременно овражной ситуации локально (для квадратичной модели) дают существенно более удовлетворительные по скорости убывания функционала результаты по сравнению с традиционными методами.

О целесообразности использования соответствующих алгоритмов для целей оптимального управления можно судить только по результатам решения реальных задач. Создание новых методов будет оправдано, если их применение окажется эффективным для множества практических ситуаций, вызывающих трудности для известных поисковых процедур.

6.3. Оптимизация технологических процессов

Технологический процесс предназначен для решения определенного, четко ограниченного класса задач, поэтому результат его функционирования оценивается показателями, которые выбираются в строгом соответствии с целью, поставленной перед про­цессом. Правильный выбор и обоснование показателей определяют эффективность управления.

Характерной особенностью сложных систем является многочисленность показателей, оценивающих их работу. Например, при оптимизации производства синтетического каучука к продукту, получающемуся в процессе полимеризации, предъявляют ряд требований по степени конверсии, молекулярно-весовому распределению, скорости вывода латекса и т. п. Обычно стремятся сократить количество рассматриваемых частных показателей или использовать косвенные, которые могут быть применены вместо нескольких частных.

Другой путь сокращения числа рассматриваемых частных показателей эффективности состоит в нахождении некоторой обобщенной функции и использовании ее для характеристики результата функционирования сложной технической системы. Задача управления процессом решается намного проще, если рассматривается единственный обобщенный показатель эффек­тивности, который является количественной оценкой всех требо­ваний, предъявляемых к результату функционирования процесса.

В большинстве практических случаев нахождение таких обобщенных показателей не может быть выполнено формальными математическими методами и представляет собой творческую задачу выбора наилучшей характеристики для результата функционирования технологического процесса. Формирование обобщенного показателя качества функцио-нирования процесса упрощается только в том случае, если имеется функциональная связь между частными критериями F₁(x), . . . , F_m(x), которая приводит к вполне определенной математической функции

F(x) = F[F₁(x), . . . , F_m(x)]. (6.2)

Задача многокритериальной опти­мизации на практике встречается весьма часто, поэтому ее реше­нию в последнее время уделяется много внимания. Например, разработана теория антагонистических игр, в которой успешно работает доказанный фон-Нейманом принцип «мини-макса». В случае неантагонистических игр применим принцип согласованного оптимума В. Парето, который предполагает, что улучшение одного критерия не допускается за счет ухудшения другого, т.е. использование этого принципа является наилучшим с точки зрения всех критериев.

Исследования показали, что при стремлении в равной степени удовлетворить всем показателям существует оптимальная точка, определяемая решением уравнения

DF/DХ = 0, (6.3)

где F  вектор, составленный из критериев F_i (i = 1, . . ., т), a D/DX  якобиан векторного преобразования. Построение и решение уравнения (6.3) часто затруднительно из-за неопределенности критериев и различного их физического содержания.

Обобщенный показатель эффективности является комплексной, всесторонней характеристикой приспособленности процесса к выполнению поставленной перед ним задачи. Он учитывает мно­гие требования, предъявляемые к результату функционирования технологического процесса, а именно, стоимостные показатели, качество и количество полученного продукта и т. д. Однако уравнение регрессии для обобщенного показателя эффективности по парамет­рам технологического процесса не может быть получено формальными математическими методами. Здесь необходимо в максимальной степени опираться на имеющийся опыт эксплуатации процесса, знания технологов, специалистов и т. п.