5.6. Математические модели многостадийных объектов

Технологические процессы (в частности, технологические процессы химического производства) реализуются обычно на совокупности технологических аппаратов, действующих как одно целое. В них осуществляется определенная последовательность технологических операций по получению целевого продукта (например, в технологических процессах химической технологии такими операциями являются подготовка сырья, смешивание, отделение примесей и т. д.).

В некоторых случаях стадии технологического процесса могут рассматриваться независимо друг от друга, каждая из них имеет свой так называемый локальный критерий. Каждая из этих стадий характеризуется определенным набором входных и управляющих воздействий, требования к выходным переменным каждой стадии могут быть четко определены. Идентификация такого многостадийного процесса сводится к построению математических моделей отдельных стадий, выбору информативных на каждой стадии переменных, подборке подходящей структуры, оценке адекватности полученных моделей.

Однако в большинстве случаев, особенно в непрерывных процессах химической технологии, стадии не могут рассматриваться как независимые. Как правило, функционирование последующей стадии зависит от протекания процесса на предыдущих стадиях; ограничения на входные, управляющие и выходные переменные стадий назначаются с учетом требований к другим стадиям, часть продуктов с выхода стадии может возвращаться на вход предыдущей стадии или в начало (голову) процесса.

Таким образом, решение задач оптимизации непрерывных многостадийных процессов предполагает обычно совместное рассмотрение отдельных технологических переделов, согласование критериев, характеризующих функционирование отдельных стадий, учет материальных и энергетических балансов всего процесса.

Отдельные технологические аппараты многостадийного процесса соединяются определенным образом, обеспечивающим более выгодное использование сырьевых ресурсов, экономное использование энергии и т. п. Основными типами соединений (связей) технологических аппаратов (элементов) химико-технологической системы (ХТС) являются последовательная, последовательно-обводная (байпac), параллельная, обратная (рецикл) и перекрестная. Все они применяются в химико-технологических системах в зависимости от характера происходящих физико-химических превращений и требований к производительности установки.

Последовательная технологическая связь обеспечивает улучшение функционирования отдельных технологических аппаратов. Она используется, например, для обеспечения более высокой степени превращения исходного сырья, повышения сте­пени разделения, степени извлечения вредных примесей и т. д.

Усложненным вариантом последовательного соединения технологических аппаратов является последовательно-обводная связь. Здесь за счет байпасирования части холодного потока сырья увеличивается концентрация реагирующих веществ на входе в последующие реакторы.

Параллельная технологическая связь при­меняется для повышения производительности технологической установки, а также при параллельном получении из одного и того же сырья двух или большего числа промежуточных продуктов, идущих на производство одного целевого продукта.

В технологи­ческих системах широко используется обратная (рециклическая) связь, когда часть потока с выхода j-го технологического аппарата подается на вход i-го аппарата. Такая связь обеспечивает более полное использование сырья, интенсивное протекание химических реакций за счет использования тепла реакции для подогрева исход­ных продуктов, наиболее полное использование катализаторов и инертных растворителей.

Наконец перекрестная технологиче­ская связь обеспечивает эффективное использование энергии хими­ко-технологической системы (например, тепло газообразных продуктов химической реакции пли отходящих газов можно ис­пользовать для предварительного нагрева сырья).

Рис. 5.3. Укрупненное пред­ставление многостадийного

технологического объекта

Сложный многостадийный процесс можно рассматривать как единый блок (рис. 5.3), модель которого ищется в за­висимости выходной величины от входов и выходов всех подси­стем

Y_m = f(X₁, … , X_m; U₁, … , U_m; Y₁, … , Y_m-1) , (5.19)

где m – количество подсистем; X_i (i = 1, … , m) – вектор входных контролируемых переменных i-й стадии; U_i (i = 1, … , m) – вектор управляющих переменных i-й стадии; Y_j (j = 1, … , m-1) – вектор выхода j-й стадии; Y_m – критерий многостадийного технологического объекта.

В основе такого подхода к рассмотрению многостадийного технологического объекта лежит идея «черного» или «серого ящика», когда модель строится только по наблюдаемым значениям входных и выходных переменных («черный ящик») с использованием, быть может, некоторой априорной информации о механизме протекающих в объекте яв­лений («серый ящик»). Построение модели (5.19) связано с опреде­ленными сложностями.

Это, во-первых, различные динамические свойства участков, заключенных между Y_m и X_i. Различное время запаздывания требует, например, при использовании регрессионных методов для построения модели, различной частоты съема данных, различного времени для накопления выборок необходи­мого объема. Обработка экспериментального материала, если бы он и мог быть получен, тоже будет чрезвычайно громоздкой и сложной, особенно если учесть необходимость выбора наилучшей модели.

Вторая сложность, связанная с построением модели (5.19), вызывается коррелированностью переменных. Она резко увеличивает объем вычислительной работы, а иногда может сделать и принципиально невозможным построение математической модели. Следует заметить, что участкам Y_m–X₁, Y_m–X₂, …, Y_m–X_m на практике не удается назначить критерий оптимальности. Поэтому эти участки не могут рассматриваться как отдельные подсистемы объекта.

Таким образом, построение математической модели в виде (5.19) на основе экспериментальных данных практически едва ли выполнимо  непомерно большим становится время накопления данных, резко растут объемы необходимой экспериментальной информации, вычислительные трудности и т.п. Использование аналитических моделей при таком подходе тоже невозможно, поскольку сложный технологический процесс охватывает множество подпроцессов различной химической природы (химические реакции, процессы смешивания, разделения, тепло- и массообмена), многие из которых не имеют точного математического описания.

Таким образом, возникает задача упрощенного рассмотрения многостадийного процесса, перехода к меньшему числу перемен­ных, такой организации процедуры экспериментирования и по­строения математической модели, которая может быть выполнена экономичными и доступными средствами. Иногда такое упроще­ние может быть достигнуто за счет использования метода деком­позиции, который широко применяется в автоматическом управлении. Этот структурный метод анализа систем основан на их представле­нии в виде соединения типовых звеньев, удовлетворяющих трем четким условиям: одномерности, направленности действия, ти­повой структуре уравнения звена.

Менее строгим с математиче­ской точки зрения, но зато обоснованным с технологической точки зрения, является представление сложного многостадийного про­цесса в виде соединения типовых процессов. Конечная цель такого представления состоит в разбиении пространства переменных y₁, …, y_q; u₁, …, u_r; x₁, …, y_t; f₁, f₂ , ... , описывающих техно­логический объект, на q подпространств более низкой размерно­сти. При этом j-е подпространство (j = 1, …, q) включает лишь те переменные, которые влияют на переменную y_j .

Пусть, напри­мер, технологический объект характеризуется переменными y₁, y₂, y₃, u₁, u₂, x₁, x₂, x₃, f₁, f₂, f₃. Математическая модель такого объекта может быть представлена в виде

_i (y₁, y₂, y₃, u₁, u₂, x₁, x₂, x₃, f₁, f₂, f₃) = 0; i  1. (5.20)

Предположим, что y₁ зависит только от u₁, x₂, x₃, f₂; переменная y₂ зависит только от y₁, u₁, u₂, x₁, x₂; переменная y₃ зависит только от u₂, x₃, f₁ , f₂. Тогда три подпространства определяются координатами y₁ (u₁, x₂, x₃, f₂ ); y₂( y₁, u₁, u₂, x₁, x₂); y₃ (u₂, x₃, f₁ , f₂). Таким образом, математиче­ская модель (5.20) может быть представлена в виде трех более про­стых блоков:

₁(y₁, u₁, x₂, x₃, f₂ )=0; ₂( y₁, y₂, u₁, u₂, x₁, x₂)=0; ₂₁( y₂, u₁, u₂, x₁, x₂, x₃, f₂)=0;

₃ (y₃, u₂, x₃, f₁ , f₂)=0. (5.21)

При этом блоки, выходные переменные которых не управляются, из модели исключаются. Если любая выходная переменная техноло­гического объекта зависит от всех остальных, то декомпозиция не­возможна. Выводы о зависимости или независимости переменных делаются на основе анализа теоретических представлений о про­цессе, результатов экспериментов и т. д.

Существует несколько иной подход к построению сложных многостадий­ных технологических объектов или так называемых производ­ственных комплексов непрерывного действия (ПКН) химико-технологического профиля. Подход заклю­чается в переходе к подсистемной структуре модели (рис. 5.4). Модель комплекса имеет подсистемную структуру, если: 1) он состоит из моделей подсистем и связей между ними, причем числа подсистем m  2; 2) каждой из подсистем соответствует критерий оптимальности в отличие от критерия всего процесса.

X_k

U_k

Y_k

X_m

U_m

Y_m

…

…

Рис. 5.4. Подсистемная структура модели многостадийного

техно­логического процесса

Подсистемой может служить реактор, реакционное отделение, процесс, установка и т. д. Построение математической модели ком­плекса проходит два основных этапа: определение структуры мо­дели – формирование функциональных и позиционных ограниче­ний, выбор качественного вида модели (линейные или нелиней­ные полиномы, дифференциальные уравнения и т. д.), расчет чис­ловых значений коэффициентов ограничений.

В настоящее время предложены и детально исследованы наиболее ха­рактерные типовые структуры подсистем, которые составляют основу модели всего объекта. Это могут быть структуры сле­дующих видов:

1. статическая модель с постоянными относительными выходами;

2. статическая модель с переменными относительными выходами;

3. модель динамики с постоянными относительными выходами;

4. модель динамики с переменными относительными выходами;

5. модель для оптимизации выбора технологических вариантов работы в статике и динамике.

Связь отдельных подсистем обеспечивается за счет покомпо­нентного описания материальных потоков, связывающих отдель­ные подсистемы, применения относительных выходов компонен­тов в качестве выходных переменных и т. д.

В общем случае модель сложного многостадийного технологи­ческого процесса представляется системой нелинейных алгебраических или дифференциальных уравнений большой размерности, дополненной системой позиционных и функциональных ограничений. Так, например, система уравнений материальных и тепловых балансов химико-технологического процесса производства карбамида по схеме с полным жидкостным рециклом состоит из N >100 балансовых уравнений и М > 150 уравнений связи входных и выходных переменных. Модель производства серной кислоты имет около 500 информа­ционных связей, из которых более половины нелинейны.

Громозд­кость и сложность получаемых математических моделей требует особой тщательности при выборе информативных переменных, включаемых в модель. Особенно ответственным является вопрос о согласовании критериев отдельных подсистем (локальных критериев) с общим (глобальным) критерием процесса. Иногда эта задача сводится к согласованию допусков на выходные переменные отдельных подсистем с допусками на общий выход процесса. Решение этих задач зависит от особенностей конкретного технологического объекта.