2. Теоретические модели объектов

Рассмотрим основные виды теоретических моделей линейных непрерывных стационарных динамических объектов и их взаимосвязь (действием шума e(t) пока пренебрегаем).

Дифференциальные уравнения. Наиболее универсальная модель, основанная на дифференциальных уравнениях, описывается выражением:

, (Б.8)

где n — порядок модели (n > m); а_i и b_i — постоянные коэффициенты (параметры модели); x^(j)(t) и y⁽ⁱ⁾(t) — производные соответственно входного и выходного сигналов.

Уравнения переменных состояния. При выборе n координат системы x_i(t), i = 1, 2, ..., n в качестве переменных состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и n - 1 его производных) данную систему можно описать уравнениями для переменных состояния

Х'(t) = AX(t) + Bu(t) ; (Б.9)

y(t) = СХ(t) + Du(t) ,

где X(t) = [x₁(t), x₂(t), … , x_n(t)]^T  вектор-столбец переменных состояния; В, С и D при скалярных u(t) и y(t)  соответственно матрица размера nn, векторы размера n1 и 1n и скаляр (при векторных u(t) и y(t)  матрицы соответствующих размеров).

Применение преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях к последним уравнениям позволяет получить следующее выражение для передаточной функции:

W(p) = C(pI - А)^-1В + D, (Б.10)

где I  единичная матрица. Отметим, что все приведенные модели являются эквивалентными, то есть, зная любую из них, можно получить все остальные.

Разностные уравнения. На практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени t_k = kT (в данном случае Т — интервал дискретизации), что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ЭВМ. Для дискретных объектов наиболее общим видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциального):

, (Б.11)

где y_k-i = y[(k-i)T] и x_k-j = x[(k-j)T].

Z-преобразование. Связь сигналов может быть отражена также:

а) через дискретную свертку

, (Б.12)

где w_i — ординаты весовой решетчатой функции объекта;

б) с использованием аппарата Z-преобразования при z = e^pT :

; (Б.13)

в) через дискретную передаточную функцию:

, (Б.14)

которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим его частям Z-преобразования:

. (Б.15)

Заметим, что Z-изображением решетчатой импульсной переходной характеристики является W(z), то есть Z{w_i} = W(z).

Непрерывные объекты можно приближенно отображать дискретными моделями. При этом возможны различные способы перехода от непрерывных моделей к дискретным:

а) с применением Z-преобразования со следующей цепочкой переходов:

W(p)  L^-1{W(p)} = w(t)  w(kT) = w_k  W(z) = Z{w_k}; (Б.16)

б) заменой производных в дифференциальном уравнении, описывающем непрерывный объект, разностями вида

и т. д. (Б.17)

(данный подход дает приемлемую точность только при малых Т);

в) с заменой (приближенный способ, предложенный А. Тастиным и называемый билинейным преобразованием), то есть

. (Б.18)

Модели авторегрессии. Приведем ниже несколько распространенных моделей дискретных объектов для временной области, учитывающих действие шума наблюдения. Заметим, что множитель z^-1=е^-рТ представляет собой оператор задержки, то есть z^-1x_k = x_k-l, z^-2x_k = x_k-2 и т. д. Моменты дискретного времени далее будем обозначать символом t, подразумевая, что в данном случае t = 0, 1, 2, ...

Модель авторегрессии AR (AutoRegressive) считается самым простым описанием:

A(z) y(t) = e(t), (Б.19)

где A(z) = 1 + a₁z^-1 + a₂z^-2+...+a_nz^-n .

ARX-модель (AutoRegressive with eXternal input)  более сложная:

A(z) y(t) = B(z) x(t) + e(t) (Б.20)

или в развернутом виде:

y(t) + a₁y(t-l) + a_ny(t-n) = b₁x(t) + b₂x(t-l)+...+b_mx(t-m) + e(t).

Здесь и ниже e(t) — дискретный белый шум, В(z) = b₁ + b₂z^-l+...+b_nz ^{- n+1}.

ARMAX-модель (Auto Regressive-Moving Average with eXternal input  модель авторегрессии скользящего среднего):

A(z) y(t) = B(z) x(t-nk) + C(z)e(t), (Б.21)

где nk  величина задержки (запаздывания), C(z)=1+с₁z^-1+с₂z^-2+…+с_nz^-n.

Модель «вход — выход» (в англоязычных источниках такая модель называется «Output-Error», то есть «выход — ошибка», сокращенно ОЕ):

, (Б.22)

где F(z)=1+f₁z^-1+f₂z^-2+…+f_nf z^-nf.

Модель Бокса — Дженкинса (BJ):

, (Б.23)

(полиномы B(z), F(z), C(z) определены ранее, a F(z)=1+d₁z^-1+d₂z^-2+…+d_nd z^-nd).

Данные модели можно рассматривать как частные случаи обобщенной параметрической линейной структуры

, (Б.24)

при этом все они допускают расширение для многомерных объектов, имеющих несколько входов и выходов.

Модель для переменных состояния (State space):

х(t+1) = Ax(t) + Bu(t); (Б.25)

y(t) = Сх(t) + Du(t)+v(t),

где А, B, C, D — матрицы соответствующих размеров, v(t)  коррелированный шум наблюдений.

Возможна и другая (так называемая обновленная или каноническая) форма представления данной модели:

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + Ke(t); (Б.26)

y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t),

где К  некоторая матрица (вектор-столбец), e(t)  дискретный белый шум (скаляр).