14. Гармонические колебания и формы их представления. Сложение гармонических колебаний. Биения, фигуры Лиссажу.
Гармонические колебания
В общем случае состояние системы изменяется. Если в изменение обнаруживается повторяемость, то в системе происходят колебания. Если колебания повторяются через строго определенный промежуток времени, то такое колебание периодическое, а сам промежуток – это период Т. Колебания, происходящие по закону Sin или Cos называются гармоническими.
Причины гармонических колебаний:
Многие колебания во многих системах близки к гармоническим.
Любое произвольное колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний.
Характеристики и способы представления гармонических колебаний
Аналитическое:
Графическое:
x
– смещение;
A - амплитуда (максимальное значение x);
- фаза;
- начальная фаза,
при t = 0, зависит от состояния
система и времени;
- скорость изменения
фазы с течением времени, циклическая
частота;
Векторное:
П
рименяется
для сложных колебаний. Угловая скорость
– циклическая частота.
Комплексное:
Показательное:
Сложение колебаний
Сложение однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами:
Пусть система
принимает участие в двух однонаправленных
колебаниях с одной
.
Сколько бы гармонических колебаний ни складывалось, получаем гармоническое колебание с такой же частотой, но у него своя амплитуда, которая зависит от амплитуды складываемых колебаний и от начальных фаз.
Сложение однонаправленных колебаний с разными частотами. Биения.
Результирующее x – это быстрое колебание с медленно изменяющейся амплитудой.
Если амплитуды разные, то нулевой амплитуды не получится. Если складываются колебания с разными частотами, то получаются не гармонические колебания.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Разные
Результирующее
движение в общем случае сложное.
Траектория может получиться не замкнутой.
Замкнутая, если
- кратны друг другу или частоты относятся,
как целые числа,
,
тогда получится фигура Лиссажу.
Пример:
В общем случае фигура Лиссажу пересекает целое число раз каждую ось. Тогда частоты колебаний относятся между собой так, как относятся обратные числа:
15. Гармонический осциллятор. Энергия гармонического осциллятора.
Гармонические осцилляторы.
Среди любых систем можно выделить колебательную систему или осциллятор.
Такая система может совершать колебания сама по себе, те за счет внутренних причин, если у нее есть энергия. Если собственные колебания системы являются гармоническими то система- осциллятор.
Динамика гармонических колебаний описывается дифуром:
(1)
Если для системы получается уравнение (1) то система – гармонический осциллятор.
-
собственная частота.
Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.
=>
- решение этого уравнения есть функции
вида
,
.
Пример 1 (Пружинный маятник.)
-
дифференциальное уравнение гармонического
осциллятора.
Решением
дифференциального уравнения будет
.
Величина собственной частоты зависит от свойств системы.
Причин колебаний 2:
возвращающая сила.
инертность.
3 свойства осциллятора:
1. Начальное положение.
2. Возвращающая сила.
3. Инертность.
Пример 2 (Физический маятник).
Р
авновесие
когда
Если угол мал то:
- собственная
частота.
Пример 3 (Колебательный контур)
С
ообщение
заряда колебательному контуру выводит
систему из положения равновесия.
- закон Кирхгофа.
=>
Возвращающие воздействие связанно с зарядом.
Энергия гармонического осциллятора.
Рассмотренные в примерах осцилляторы являются консервативными системами. Энергия с течением времени не меняется.
Пример 1.
=>
продифференцируем по x и получим .
Причины, по которым получается именно это уравнение:
1) система консервативна.
2) Энергия – квадратичная форма от смещения и скорости.
Для колебательного контура:
