16. Осциллятор с трением. Режимы движения. Затухающие колебания и их характеристики.

В реальных осцилляторах есть трение, трение трансформирует энергию колебаний во внутреннюю энергию. При достаточно большом трении колебаний может и не быть.

Дифференциальное уравнение осциллятора с трением

1. К олебательный контур

; ;

2. Пружинный маятник

П ружинный маятник движется в некоторой среде, тогда на маятник будет действовать сила сопротивления, модуль которой .

; ;

В общем случае дифференциальное уравнение осциллятора с трением:

(1) , где - квадрат собственной частоты, - коэффициент затухания.

дифференциальное уравнение осциллятора с трением описывает собственную динамику осциллятора, у которого трение линейно зависит от скорости.

Режимы осциллятора с трением

Характер движения осциллятора с трением. Если трение очень маленькое, то колебания должны быть, но их амплитуда должна падать. Если трение велико, то колебаний может не быть.

Решение (1) будем искать в виде x=Ae^t.

Ae^t (²+2+ )=0

²+2+ =0

_1,2=

Возможны три ситуации, связанные с коэффициентами и , и они соответствуют трем возможным режимам осциллятора с трением:

1. Апериодический режим >

₁<0, ₁<0

x (t)= A₁e^g1t+ A₂e^g2t= A₁e^{( )*t}+ A₂e^{( )*t}

Апериодический режим возникает при большом трении в системе.

2. Режим критического затухания.

b=

₁=₂=-b

x(t)=(A+Bt)e^-bt

Вид картины такой же.

В режиме критического затухания система наиболее быстро возвращается в положение равновесия среди апериодических режимов.

Коэффициент сопротивления r называется критическим коэффициентом затухания, b – коэффициент критического затухания, R- критическое сопротивление контура.

Найдем выражение для критического сопротивления:

b_кр= ; ;

3. Режим затухающих колебаний.

b< ; _1,2= , где

x(t)=Re( (t))= A₁e^-btcos(wt+₀₁)+ A₂e^-btcos(wt+₀₂)= A₀e^-btcos(wt+₀)

A₀ – зависит от энергии.

₀ – зависит от начального состояния системы.

Затухающие колебания и их характеристики

b <

x (t)= A₀e^-btcos(wt+₀)

Затухающие колебания

Амплитуда, меняющаяся с течением времени

Положим ₀=0.

Колебания не периодичны (т.к. max не повторяются), но они характеризуются периодом затухающих колебаний.

T= , - зависит не только от возвращающего воздействия, но и от трения.

- постоянная времени затухания(времени релаксации) – за это время амплитуда уменьшается ровно в e раз. ; A=A₀e^-1; =1; =

 - логарифмический декремент затухания.

= , =

 обратно числу колебаний, в течении которых амплитуда уменьшается в e раз.

//продолжение ниже//

Энергия затухающих колебаний. Добротность колебательной системы.

Энергия осциллятора с трением:

E=kA²/2; A=A₀e^-t

E =

Чтобы характеризовать уменьшение энергии в системе вводится понятие добротности.

Q – добротность. Есть три определения добротности:

1. Q=

- время, за которое энергия уменьшается в e раз.

При таком определение добротность численно равна изменению фазы колебаний за время, в течении которого энергия уменьшается в e раз.

2. <<_o; Q= .

3. Пусть трение мало, найдем изменение энергии за период.

E= ; ; ;