17. Вынужденные колебания осциллятора. Резонанс. Импеданс колебательной системы.

Осциллятор может находиться под внешним воздействием. Если воздействие гармоническое, то реакция осциллятора избирательна. Степень воздействия зависит от частоты воздействия.

Если частота воздействия равна собственной частоте _о, то это воздействие будет максимальным, и получило название резонанса.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

1. Пружинный маятник

F _ocos(t) – внешнее гармоническое воздействие

; _;

2. К

   L

   R

   С

   олебательный контур

E_ocost – гармоническое воздействие ЭДС.

; q/c+RI=-L ;

_{В общем случае дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:}

_{Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний неоднородно. Справа не ноль. Общее решение неоднородного уравнения складывается из двух, а именно: решения общего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.}

_{Нас интересует частного решения неоднородного уравнения, которое определяет установившееся решение.}

_{Справа гармоническая функция, слева сумма трех функций, которые тоже должны быть гармоническими с той же частотой.}

_{Х арактеристики вынужденных колебаний}

_{x (t)=Re(x(t))}

_{x(t)=Aoeit=Aoeioeit}

_{О существим подстановку:}

_{x /(t)=iAoeit}

_{x //(t)=- 2Aoeit}

_{Aoeiwt(-2+2iw+wo2)=foeiwt}

_{A o=}

_{Ao= ; . Частное решение уравнения имеет вид:}

_{x(t)= cos(wt+ )}

_{Вынужденные колебания в системе оказались сдвинутыми по фазе по отношению к вынужденному воздействию.}

_{х=Acos(wt+o)}

1. _{Частота колебаний равна частоте вынужденных колебаний}

2. _{A(w) – амплитуда зависит от частоты воздействия. При разных частотах А(w) будет разной.}

3. _{о – разность фаз этого колебания и колебания вынужденного воздействия.}

_{Амплитуда вынужденных колебаний. Явление резонанса.}

1. _{Низкие частоты: w существеннее меньше wо.}

_{(на примере маятника)}

_{При низкой частоте реакция на внешнее воздействие зависит от упругих свойств системы и от возвращающего воздействия. - статическое смещение}

2. _{Высокие частоты: w существеннее больше wо.}

_{При высоких частотах определяющим является инертность системы. Чем больше инертность, тем амплитуда колебаний меньше.}

3. _{У зависимости А(w) должен быть максимум. Амплитуда максимальна, когда минимальна.}

_{wо, , fo – const, мы их зафиксировали.}

_w1=0

_{w2= - резонансная частота.}

_{Когда частота воздействия равна резонансной частоте, тогда будет максимум амплитуды.}

_{=0, при выполнении этого условия явление резонанса исчезает. Если трение велико, то резонанса не будет.}

_{Резонанс скорости}

_{х=Acos(wt+jo)}

_v=

_vA=

_{1) низкие частоты.}

_{, т.е. движения нет.}

₂₎

_{Между w и vA должен быть максимум, следовательно резонанс скорости должен быть при любом значении трения.}

_VA=

_{Скорость будет максимальной, когда частота вынужденного воздействия равна собственной частоте.}

_{Р езонанс скорости существует всегда при любом трении.}

_{От резонанса скорости в принципе нельзя избавиться, также существует резонанс ускорения.}

_{В условиях малого можно считать, что все частоты приблизительно равны 0.}

_{Фаза вынужденных колебаний.}

_{F = F0cos(t), x = Acos(t+}

1. _{=0, 0=0}

2. _{При произвольной частоте 0<0, т.е. колебания которые установятся в этой системе будут отставать по фазе от колебания воздействия.}

_{ =  - характерная точка. В этом случае max одной системы приходится на 0 в другой и наоборот. F = F0cos(t), x = Acos(t - /2)}

_{Добротность и резонансные свойства системы}

_{Резонансные свойства системы можно характеризовать добротностью.}

_{А рез – резонансная частота}

_{Аст – статическое смещение}

1. _{Аст , когда w = 0; Аст=}

2. _{Арез, когда w= wо; Арез=}

_{; - ширина кривой}

_{- добротность характеризует меру ширины резонансной кривой.}

_{Импеданс (полное сопротивление колебательной системы)}

Для колебательного контура можно ввести величину импеданса:

= R+i(wL-1/(wC))

Z= =R+i(wL-1/(wC))

1) – связана с потерями энергии в контуре

2) Im( )= wL-1/(wC – реактивное сопротивление, связано с запасами энергии.

Величину импеданса можно ввести и для механической системы, например, пружинный маятник:

Z=r+i(wm-k/w)