6. Линеаризация условных уравнений

Теоретически задача фототриангуляции решается путем составления соответствующих условных уравнений. В эти уравнения подставляют известные величины; например, элементы внутреннего ориентирования х₀, у₀, f и координаты X_p, У_p и Z_p наземных опорных точек. Для того чтобы определить остальные параметры сети должно быть отнаблюдено на аэроснимках достаточное число точек и найдены: координаты Х_S, Y_s, Z_S всех точек фотографирования, угловые элементы ориентирования α, ,  всех снимков, координаты всех определяемых точек. Решение такой задачи по нелинейным формулам, практически затруднено, и, кроме того, обычно измеряется большее число точек на аэроснимках, чем требуется для решения. Поэтому условные уравнения следует привести к линейному виду, а при наличии избыточных измерений применить способ наименьших квадратов. Для линеаризации уравнений примёняются ряды Тейлора или Маклорена, в которых удерживаются только члены первого порядка.

Условные уравнения можно записать как функцию измеренных величин и параметров приравненную к нулю, т. е.

F (измерения, параметры) = 0. (5.20)

Если в условные уравнения подставлены измеренные величины и приближенные значения параметров, то эти уравнения не будут точно удовлетворяться. Они будут удовлетворены, если к этой функции прибавить ряд членов, включающих поправки к измеренным величинам и приближенным значениям параметров, т. е.

(F₀) + [A] (V) + [B] () = 0. (5.21)

где (F₀) — значение F, вычисленное по измеренным величинам и приближенным параметрам;

[A] — матрица векторов-строк, составленная из частных производных F, по каждой из измеренных величин;

(V) — вектор-столбец поправок к измеренным величинам;

[B] — матрица векторов-строк, составленная из частных производных по каждому параметру;

() — вектор-столбец поправок к приближенным значениям параметров.

Частные производные для [A] и [B] вычисляются по приближенным значениям параметров, и они становятся коэффициентами линейных уравнений (5.21), в которых (F₀) является свободным членом.

Условные уравнения коллинеарности, компланарности и равенства масштабов вместе с общим уравнением преобразования пространственных координат содержат все параметры, которые определяют математическую модель фотограмметрической сети.

7. Решение линеаризованных уравнений

с оценкой точности

Одним из основных преимуществ аналитической фототриангуляции является возможность при избыточных измерениях строгого решения задачи по способу наименьших квадратов, и фотограмметристы внесли значительный вклад в общую теорию способа наименьших квадратов, что описано Розенфельдом [37].

Решение по способу наименьших квадратов начинается с составления линеаризованных условных уравнений (5.21), которые можно рассматривать как матричные уравнения, содержащие все линеаризованные условия, которые описывают фотограмметрическую задачу.

Весовая матрица условных уравнений будет:

(W) = (AσA^T)^-1 , (5.22)

где σ — ковариационная матрица наблюденных величин.

Если включаются только координаты точек аэрофотоснимков, то они обычно принимаются независимыми и с одинаковым весом. Тогда матрица σ будет диагональной с равными диагональными элементами. Халлерт [22] предложил определять веса точек на аэрофотоснимках как функцию их расстояния от главной точки.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(B^TWB)(Δ) + (B^TW)(F₀) = 0 (5.23)

Число линейных уравнений в этой группе равно числу поправок параметров в векторе (Δ). Эту систему нормальных уравнений компактно можно записать в виде:

(N) (Δ) = (L), (5.24)

Решая, получим:

(Δ) = (N)^-1(L). (5.25)

Найденные поправки (Δ) прибавляют к первым приближенным значениям параметров, которые использовались при составлении линеаризованных условных уравнений. Поскольку коэффициенты в матрицах [А] и [В] вычислялись с приближенными величинами, новые значения параметров могут ещё не удовлетворить условным уравнениям. Поэтому решение повторяется до тёх пор, пока поправки будут незначительными. Число приближений зависит от того насколько хорошо были выбраны начальные приближённые значения, от надежности геометрических связёй в сети фототриангуляции и от общего числа параметров задачи.

Уравнение (5.25) предполагает, что матрица коэффициентов нормальных уравнений должна быть обращена. Однако если требуется найти только (Δ), то нормальные уравнения вместо обращения могут быть просто решены, что значительно проще, чем обращение матрицы. Преимущество обращения матрицы в том, что оно позволяет оценить точность фототриангуляции. Квадрат поправки каждой наблюдаемой величины равен:

s_j² = (B_i Δ + F_0j)^T(W_j)(B_j Δ + F_0j), (5.26)

тогда квадрат ошибки единицы веса

₀² =s_j²/(n-u), (5.27)

где n — число условных уравнений, а u — общее число параметров.

Наконец, ковариационная матрица параметров будет

_P = ₀²(N)^-1. (5.28)

Важно исследовать не только изменения параметров (диагональные члены матрицы), но также ковариации (недиагональные члены) потому, что, как известно, влияние соответствия в параметрах ориентирования должно частично компенсировать ошибки в координатах точек местности.

В аналитической фотограмметрии измеряемыми величинами являются координаты точек аэрофотоснимков, а решение выполняется по способу наименьших квадратов под условием минимума суммы квадратов поправок в измеренные координаты точек аэрофотоснимков. Координаты наземных опорных точек также можно рассматривать как наблюдаемые величины, хотя в большинстве методов они считаются безошибочными. Однако ввиду получаемой теперь высокой точности аналитической фототриангуляции ошибками координат опорных точек нельзя больше пренебрегать.

Первые методы аналитической фотограмметрии копировали процессы, выполняемые на аналоговых стереофотограмметрических приборах. Поэтому в некоторых из формул поперечные параллаксы рассматривались как наблюдаемые величины, сумма квадратов которых должна быть минимальной. С теоретической точки зрения способа наименьших квадратов это не совсем правильно, но практически обычно получаются приемлемые результаты. Более правильно и наиболее просто за наблюдаемые величины принимать координаты точек аэроснимков.

Если некоторые из известных параметров, например элементы внешнего ориентирования аэроснимков X_S, Y_S, Z_S, , ,  или координаты наземных опорных точек, сами имеют ошибки, то их можно включать в решения в качестве переменных величин. Такой метод видоизмененных нормальных уравнений дан Брауном и усовершенствован Кейзом и Розенфельдом [37].