Решение

Дано:

θ = 32' = 0.00931рад

С = 1.4кДж/(м²·с).

Т = ?

В ыделим на поверхности Солнца квадрат со стороной ℓ_с и площадью . На поверхность Земли этот квадрат отобразится в виде квадрата со стороной ℓ_З и площадью (см. рисунок). Поскольку расстояния R_C и R_З очень велики стороны квадратов ℓ будут мало отличаться от длины дуг окружностей радиусами R_C и R_З соответственно для Солнца и Земли. Необходимо только помнить, что R_C − это радиус Солнца, а R_З− это расстояние от Солнца до Земли. Если φ − угол между прямыми, проведёнными из центра Солнца к краям площадок (см. рисунок), то и . Вся энергия, излучённая с солнечной поверхности S_С попадёт на поверхность S_З на поверхности Земли (считаем, что в пространстве между Солнцем и Землёй энергия не поглощается). В соответствием с законом Стефана – Больцмана энергия, излучаемая за время t с квадрата на поверхности Солнца , здесь Т – температура поверхности Солнца. Аналогично энергия, попадающая на квадрат на поверхности Земли, . Учитывая, что энергия не поглощается имеем

Выразим отношение расстояний через угловой диаметр Солнца.

Считаем 2R_С = θ·R_З

Ответ: .

Пример 3. Определить установившуюся температуру Т зачернённой металлической пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным лучам вне земной атмосферы .Солнечная постоянная С = 1.4кДж/(м²·с).

Решение

Дано:

С = 1.4кДж/(м²·с).

Т = ?

Солнечная постоянная − это солнечная энергия, подающая ежесекундно (т.е. мощность) на 1м² поверхности Земли. При этом считается, что площадка перпендикулярна лучам, а атмосфера Земли ничего не поглощает (т.е. площадка вне земной атмосферы). Т.к. пластинка зачернённая, то она поглощает всю падающую на неё энергию, а она равна W_ПОГЛ = C·t·S, где S − площадь пластинки, энергия, излучённая нагретой пластинкой

W_ИЗЛ = σ·Т⁴·S·t. Если температура пластинки постоянна, то в состоянии термодинамического равновесия W_ПОГЛ = W_ИЗЛ. Откуда С

Ответ: С

Пример 4. Определить, до какой температуры T нагревается летом песок на пляжах Уфы. Солнечная постоянная С = 1.4кДж/(м²·с), широта Уфы φ = 54°, атмосфера поглощает 10% падающей солнечной энергии, коэффициент черноты песка k = 0.84.

Р ешение

Дано:

С = 1.4кДж/(м²·с)

φ = 54°

b = 10% = 0.01

k = 0.84

T = ?

Энергия, падающая на поверхность Земли за единицу времени с учётом поглощения и широты местности будет C' = C·(1− b)·cos φ = 740.6Дж/(м²·с)

Далее рассуждая аналогично предыдущей задаче, имеем k·σ·T⁴ = C' . Откуда k·σ·T⁴ = C·(1− b)·cos φ →

Ответ :

Замечание. В данной задаче рассматривается упрощённый идеализированный случай, когда песок отдаёт тепло только за счёт теплового излучения. В реальном случае песок отдаёт тепло ещё и окружающему воздуху и нижним не нагреваемым Солнцем слоям песка и земле. Учесть это значительно сложнее. Поэтому реальная температура песка будет ниже.

Пример 5. Определить, за какое время остынет в вакууме железный серый (k = 0.5) кубик массой 5кг от температуры 400К до 300К, если окружающие тела находятся при 0°К. Считать, что тепло равномерно излучается всей поверхностью кубика и других каналов передачи тепла нет. Теплоёмкость железа с = 460Дж/(кг·°С), плотность железа ρ = 7870кг/м³.