7. Элементы квантовой механики

• - вероятность

• - условие нормировки

• - общее уравнение Шредингера

• - уравнение Шредингера для стационарных состояний

• = уравнение Шредингера для свободной частицы

• - энергия свободной частицы

• - волновая функция свободной частицы

• - частица в яме

• - частица в яме

• - волновая функция частицы в яме

• - гармонический осциллятор

• - энергия осциллятора

• – коэффициент прозрачности

• - энергия электрона в атоме водорода

• - орбитальный момент импульса электрона в атоме

• - спин

• -проекция момента импульса

Примеры решения задач

Пример1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошёл ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев:1) U₁ = 51В; 2) U₂ = 510кВ.

Решение

Дано: Электрон, прошедший ускоряющую

U₁ = 51В разность потенциалов U, приобретает

U₂ = 510кВ. кинетическую энергию Е = eU, откуда

λ₁ = ? импульс электрона будет

λ₂ = ? . Длина волны де Бройля . Однако это справедливо только в нерелятивистском случае, когда V<< c и . В этом случае кинетическая энергия электрона Е<< Е₀ , где Е₀ – энергия покоя электрона (Е₀ = m₀c² = 9.11·10^-31 (3·10⁸)² =512437эВ ≈ 0.51МэВ. В первом случае Е = eU = 1.6·10^-19·51 = 81.6·10^-19Дж = 51эВ<< Е₀, т.е. в первом случае применимы нерелятивистские выражения и . Во втором случае Е = 0.51МэВ ≈ Е₀ и необходимо применять релятивистские формулы. В релятивистском случае , поэтому во втором случае

Ответ: , .

Пример 2. На узкую щель шириной d = 1мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость V = 3.65Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние x между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине на экране, отстоящем на L = 10см от щели.

Решение

Дано:

d = 1мкм

V = 3.65Мм/с

k = 1

L = 10см

x = ?

Прежде всего отметим, что V = 3.65Мм/с << с = 300 Мм/с и в данном случае достаточно точными будут нерелятивистские выражения, т.е. длина волны де Бройля электронов будет определяться выражением:

.

Далее задача аналогична задаче о дифракции света на одной щели.

При дифракции на одной щели дифракционные максимумы наблюдаются при условии . Для максимума первого порядка k = 1и учитывая малость угла φ (sinφ ≈ φ ) получаем . Из рисунка видно, что x = 2L·tgφ = 2L·φ. Подставив значение φ в это выражение, получаем . Учитывая, что окончательно получаем .

Ответ: .

Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Е_к ≈ 10эВ. Оценить минимальные линейные размеры атома, используя соотношение неопределённостей.

Решение

Д ано:

Е_к ≈ 10эВ

d = ?

Воспользуемся соотношением неопределённостей для координаты и импульса ∆x·∆p_x ≥ ħ, где ∆x – неопределённость координаты электрона и ∆p_x– неопределённость его импульса. Если координата центра атома x, то, если электрон находится где-то внутри атома, можно утверждать, что координата электрона x_э = (x ± ∆x). Из рисунка видно, что можно считать . В этом случае соотношение неопределённостей можно записать в виде

Используем очевидное неравенство ∆p < p (неопределённость импульса не должна превышать самого импульса (в противном случае импульс совершенно не определён и рассматривать его нет смысла). Если подставить ∆p < p в соотношение неопределённостей, то оно не нарушится (неравенство только усилится). Поэтому . Но (нерелятивистский случай). Окончательно .

Ответ: .

Примечание. Необходимо отметить, что соотношения неопределённостей позволяют лишь оценить порядок величин, но не дают их точного значения, поэтому использованная в данной задаче замена ∆p < p вполне справедлива.

Пример 4. Линии в спектре излучения атомов имеют конечную ширину и не являются бесконечно узкими. Используя соотношение неопределённостей, определить естественную ширину ∆λ спектральной линии при переходе его из возбуждённого состояния в основное. Длина волны излучения λ = 600нм, среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии τ = 10^-8с.