3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом

• закон Бугера – Ламберта – Бера

• 

• фазовая скорость волны

• групповая скорость волны

Примеры решения задач

Пример1. Стеклянная призма (n = 1.5) с преломляющим углом θ = 60° установлена так, что ход луча через призму симметричен. Определить угол отклонения луча δ.

Решение

Д ано:

θ = 60°

n = 1.5

δ = ?

δ₁

δ₂

Заданы θ, n для призмы. Выразим через эти величины угол δ отклонения луча призмой. Для входящего и выходящего лучей имеем (закон преломления) . (1).

Из рисунка видно, что , но (2)

.

В принципе уравнения (1) и (2) позволяют найти угол отклонения луча в любом случае. Дальнейшие вычисления в общем виде приводят к достаточно громоздким математическим выражениям, чтобы упростить задачу учтём, что призмы обычно используют в минимуме отклонения (в этом случае искажения изображения, даваемого призмой, минимальны), найдём условие минимума отклонения лучей призмой.

Найдём экстремум выражения : (переменной является только α₁, θ = const). , т.е. при угол отклонения будет минимален (знак указывает направление угла). Следовательно, минимальный угол отклонения будет при симметричном прохождении луча через призму. Из выражений (1) при этом следует . Симметричный ход луча через призму показан на рисунке.

В этом случае . Из (1) имеем в этом случае , но , следовательно

, при малых углах падения .

Откуда

Окончательно для малых углов

и для произвольного угла падения.

При симметричном ходе луча в призме , откуда в данном случае β = 30° и угол падения α будет определяться из условия , откуда

Ответ: .

Пример 2. Стеклянная призма с преломляющим углом θ = 60° установлена в минимум отклонения. Определить угловую дисперсию призмы для жёлтого дублета Na (λ₁ =588.9950нм и λ₂ =589.5924нм), если показатели преломления стекла призмы для этих длин волн n₁ = 1.64999 и n₂ = 1.64990.

Решение

Дано: Определим как разность углов отклонения

θ = 60° лучей для двух длин волн. Используя

λ₁ =588.9950нм результаты примера 1, имеем:

λ₂ =589.5924нм и . Для двух длин волн (и,

n₁ = 1.64999 соответственно, двух показателей преломления)

n₂ = 1.64990 получаем: , откуда и . . . Окончательно.

.

Ответ: .

Пример 3. Коэффициент поглощения некоторого вещества для монохроматического света определенной длины волны а = 0.1 см^-1. Определить толщину d слоя вещества, которая необходима для ослабления света в n = 5 раз. Потери на отражение света не учитывать.

Решение

Дано: Закон поглощения света (закон Бугера) имеет вид

а = 0.1 см^-1

n = 5

d = ?

По условию

Ответ: 16.1см.

Пример 4. При прохождении в некотором веществе пути x интенсивность света уменьшилась в n = 3 раза. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении пути 2х. Ответ: В 9 раз.

Решение

Дано:

d₁ = x

d₂ = 2x

n₁ = 3

n₂ = ?

Закон поглощения света , где a – коэффициент поглощения, не зависящий от толщины слоя. По условию Ответ: .

Пример 5. Плоская волна описывается уравнением y(x,t) = Acos(ωt-kx), где ω = 628с^-1, k = 2м^-1. Определить фазовую скорость волны.

Решение

Дано: Фазовая скорость волны

ω = 628с^-1

k = 2м^-1

V = ?

Ответ: .

Пример 6. Определить промежуток времени τ, между прохождением стеклянной пластинки толщиной d = 10мкм, расположенной перпендикулярно лучам, волнами дублета Na, если λ₁ =588.9950нм , λ₂ =589.5924нм, n₁ = 1.64999, n₂ = 1.64990.

Решение

Дано:

n₁ = 1.64999

n₂ = 1.64990

d = 10мкм

τ = ?

Имеем

Ответ: .

Пример 7. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами: y₁(x, t) = cos(1002t – 3x); y₂(x, t) = cos(1003t – 3.01x). Определить фазовые скорости v₁ и v₂ каждой волны и групповую скорость u волнового «пакета».

Р

v

ешение

Д ано:

ω₁= 1002

k₁= 3

ω₂= 1003

k₂= 3.01

v₁ = ?

v₂ = ?

u = ?

Фазовая и групповая скорость даются выражениями:

фазовая скорость волны

групповая скорость волны.

Откуда:

,

Далее

Ответ: , , .

Задачи для самостоятельного решения

1. На стеклянную призму с преломляющим углом θ = 55° падает луч света под углом α = 30°. Определить угол отклонения δ луча призмой, если показатель преломления n стекла равен 1.5.

2. На грань стеклянной призмы (n = 1.5) нормально падает луч света. Определить угол отклонения δ луча призмой, если ее преломляющий угол θ = 30

3. Луч света выходит из стеклянной призмы (n = 1.5) под тем же углом, что и входит в нее. Определить угол отклонения δ луча призмой, если ее преломляющий угол θ = 60°.

4. При прохождении в некотором веществе пути x интенсивность света уменьшилась в 2 раза. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении пути 3х.

5. Плоская монохроматическая световая волна распространяется в некоторой среде. Коэффициент поглощения среды для данной длины волны а = 1.2 м^-1. Определить, на сколько процентов уменьшится интенсивность света при прохождении данной волной пути 1м.

6. Свет падает нормально поочередно на две пластинки, изготовленные из одного и того же вещества, имеющие соответственно толщины х₁ = 5мм и х₂ = 10мм. Определить коэффициент поглощения этого вещества, если интенсивность прошедшего света через первую пластинку составляет 82 %, а через вторую – 67 %.

7. Плоская волна описывается уравнением y(x,t) = 4sin(2t-0.1x). Определить фазовую скорость волны.

8. При прохождении слоя вещества толщиной 5см монохроматический свет ослабляется на 30%. Определить толщину d слоя вещества, которая ослабляет свет вдвое. Потери на отражение света не учитывать.

9. Раствор с концентрацией с = 1г/см³ ослабляет излучение на 30%. Тот же раствор с неизвестной концентрацией в той же кювете ослабляет это излучение на 50%. Какова эта концентрация?

10. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами: y₁(x, t) = cos(500t – 2x); y₂(x, t) = cos(505t – 2.5.01x). Определить фазовые скорости v₁ и v₂ каждой волны и групповую скорость u волнового «пакета».

11. Обычно луч света, проходя через призму, отклоняется ею в сторону основания (см. пример1). Возможно ли отклонение луча в сторону преломляющего угла призмы? Если «да», то в каком случае.