Список рекомендуемой литературы
1. Брюшинкин В. Н. Практический курс логики для гуманитариев. — М.: Новая школа, 1996. — 320 с.
2. Бочаров В. А. Аристотель и традиционная логика: Анализ силлогистических теорий. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 136 с.
3. Войшвилло Е. К., Дегтярев М. Г. Логика: Учеб. для вузов. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1998. — 528 с.
4. Гетманова А. Д. Логика. — М.: Новая школа, 1995. — 416 с.
5. Ивлев Ю. В. Логика: Учеб. для высших учебных заведений. — М.: Изд. корпорация «Логос», 1998. — 272 с.
6. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Изд-во иностр. лит., 1959. — 311 с.
7. Серебрянников О. Ф., Бродский И. Н. Дедуктивные умозаключения. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1969. — 100 с.
8. Субботин А. Л. Теория силлогистики в современной формальной логике. — М.: Наука, 1965. — 124 с.
Часть III
Логика высказываний
И предикатов
Введение
В данном разделе рассматриваются основные содержательные теории математической логики: классическая логика высказываний и классическая логика предикатов, аппарат которых был частично затронут (в большей степени в связи с анализом логических форм и прежде всего — дедуктивных умозаключений) в предыдущих разделах. Подобного рода теории требуют сугубо символического описания, поэтому их изучение необходимо начинать с освоения алфавита и языка, наиболее простой вариант которых представлен в классической логике высказываний.
И классическая логика высказываний и классическая логика предикатов, использующие специфические алфавиты и языки, требуют прежде всего выработки умения осуществлять правильные записи высказывательных форм естественного языка (строить формулы высказываний и термы имён). Такие записи позволяют строго логически выявлять смыслы каких угодно высказывательных форм, избегая неточностей при дальнейшем оперировании с ними.
Формулы данных логических теорий могут фиксировать как рассуждения с логическим следованием от посылок к заключению, так и нарушения законов логики и логически недетерминированные высказывания. Важнейшей задачей поэтому является освоение процедур выявления логической сути следования от одних суждений в рассуждении к другим. Для определения истинностных значений формул в классической логике высказываний применяется табличный метод, использование которого в дальнейшем будет распространено и на вероятностные рассуждения. Использование метода истинностных таблиц позволяет осуществить формализованное описание истинностной функции пропозициональных связок, а также исчислять значения «истина» и «ложь» любой формулы классической логики высказывний.
Данный метод позволяет практически решать задачу определения вида формулы, выделить те из формул, что являются логическими законами, определять логические отношения между формулами. Следует запомнить и применять в аргументировании тождественно-истинные формулы, фиксирующие основные виды дедуктивных рассуждений. Построение формул и термов в классической логике предикатов так же необходимо для выявления законов логики, отношений между формулами, что осуществляется на более глубоком, чем в классической логике высказываний, уровне анализа. Оперирование же логическими формами в чистом виде является задачей, которая решается в ходе исчисления высказываний и предикатов.
Умение выполнять такую задачу означает, что обучаемый освоил систему законов классической логики высказываний и предикатов и умеет эвристически использовать некоторые из них в виде специальных правил исчислений, т. е. умеет на уровне оперирования логическими формами строить обоснования и доказательства. Поскольку же процесс исчисления может быть при выработавшихся навыках абстрагирования от содержания обращён к конкретным содержательным рассуждениям, то умение исчислять высказывания и предиката становится базой для понимания процедур доказательства и опровержения, рассматриваемых в следующем учебном разделе.
Лекция шестая
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
6.1. Общая характеристика и особенности языка
классической логики высказываний (КЛВ)
Логика высказываний, в отличие от рассмотренной выше силлогистики, относящейся к типу формализованных теорий, является содержательной теорий. В теориях последнего типа дедукция не является необходимым элементом и в случае использования применяется лишь для связи некоторых отдельных положений теории.
Суждения, применяемые в содержательной теории в качестве посылок, могут быть неистинными, поэтому любое рассуждение с их использованием даёт условно истинные заключения, т. е. заключение признаётся истинным лишь в том случае, если были истинными используемые посылки.
Такие особенности логики высказываний обусловлены уровнем выявления логических форм контекстов естественного языка, предполагающим абстрагирование от содержания, внутренней структуры простых высказываний, и учёт только того, с помощью каких союзов и в каком порядке эти высказывания организуют сложные.
Пример
Высказывание «На Солнце есть разумная жизнь и государственные образования, поэтому на это небесное тело в 1911 г. был отправлен посол Соединённых штатов земного шара» является ложным как в целом, так в составляющих частях, а именно: положения дел, описываемые в составляющих его трёх простых высказываниях не соответствуют действительности: 1) «На Солнце есть разумная жизнь» — ложь; 2) «На Солнце есть государственные образования» — ложь; 3) «На Солнце в 1911 г. был отправлен посол Соединённых штатов земного шара» — ложь.
Но это же высказывание имеет такую же логическую форму как другие, например, уже истинное как в своих частях, так и в целом высказывание «Клубника является вкусной и полезной ягодой, поэтому пользуется спросом потребителей», или истинное в некоторых своих частях и ложное в других частях и в целом высказывание «Зимой в Омске стоит жара и замерзает лёд на Иртыше, в силу чего некоторые пьют минеральную воду».
Из чего легко сделать достоверный вывод, что логическая форма, отвлечённая от содержания и внутренней структуры простых высказываний, составляющих какие-то сложные высказывания, не гарантирует истинность построенного по ней рассуждения, допуская как истинные, так и ложные его варианты.
Итак, классическая логика высказываний имеет дело с логическими формами только сложных высказываний.
Сложным будем считать высказывание, включающее в себя другие высказывания, в противном случае высказывание называется простым. Естественно, что в состав сложного высказывания могут входить категорические атрибутивные и иные суждения.
Поскольку логика высказываний не затрагивает внутреннюю структуру простых высказываний, то в ней можно применять любые виды простых суждений, что обусловливает предельную сжатость спектра используемых семантических категорий (рис. 14):
Рис. 14
Таким образом, формализованный язык классической логики высказываний (ЯКЛВ) помимо технических знаков содержит только один тип нелогических символов, замещающих простые высказывания естественного языка и называемых пропозициональными переменными (их принято обозначать прописными буквами латинского алфавита, например, p, q, r, s или a, b, c, d и т. д.). А также — только один тип логических символов (; ; ; ; и т. п.), имеющих прототипами союзы естественного языка и называемых пропозициональными связками.
Пример
Приведённые в предыдущем примере сложные высказывания имеют логическую форму:
(pq)r.
При этом первое и второе из высказываний составлено из трёх общеутвердительных простых суждений, а третье — как из общеутвердительных («Зимой в Омске стоит жара» и «Зимой в Омске замерзает лёд на Иртыше»), так и частноутвердительного («Некоторые пьют минеральную воду»).
Организующим эту форму началом (равно как и любую логическую форму в классической логике высказываний) являются пропозициональные (т. е. высказывательные) связки, понимаемые в качестве операций, позволяющих из каких-то суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания).
Обобщив характеристику КЛВ и особенности ЯКЛВ, станем в дальнейшем использовать в качестве рабочего определения рассматриваемой теории следующее:
Логикой высказываний (пропозициональной логикой) называется содержательная логическая теория, язык которой включает только пропозициональные переменные, пропозициональные связки и технические знаки.