36. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Нахождение функции по её полному дифференциалу.

Пусть и - 2-е произв. точки односвязной области D плоскости Oxy (область D наз-ся односвязной, если для люб. замкн. контура, лежащего в этой обл., ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (области без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями. По кажд. их этих кривых интеграл: имеет, вообще говоря, свое значение. Если же его знаения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. в этом случае для инт-ла I достаточно отметить лишь его нач. точку А( ) и его конечную точку пути. Записывают: .

Теорема: для того чтобы КРИ не зависел от пути инт-ния в односвязной обл. D, в кот. ф-ции P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в кажд. точке этой обл. выполнялось условие .

Если это условие выполняется, то подынтегральное выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy явл. полным дифференциалом нек. ф-ции u=u(x,y), т.е. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dU(x,y). Тогда:

, т.е. (1).

Ф-ла (1) – обобщенная ф-ла Ньютона-Лейбница для КРИ от полного дифференциала.

Теорема: если подынтегральное выр. Pdx+Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то .

Замечания:1.чтобы не спутаь переем. интег-ния х с верхним пределом х, переменную интегр-ния обозначают другой буквой.

2.ф-цию U=U(x,y), удовлетворяющую условию , можно найти, исп-зуя ф-лу: . В кач. нач. точки ( ) обычно берут (0,0).

3.аналогичные рез-ты справедливы для КРИ: по пространственной кривой. Соответственно: , , .

37. Поверхностный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл 2-го рода.

Обобощние 2-го инит-ла явл. поверхностный инт-л (ПИ).

Пусть в точках нек. поверхности S, с площ. S, пространства Oxyz определена непрер. ф-ция f(x,y,z). Разобьем пов-ть S на n частей , площади которых обозначим через , а диаметры – через . В кажд. части возьмем проив. точку и составим сумму . Она наз-ся интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z) по поверхности S. Если инт-ная сумма имеет предел, то он наз-ся поверхностным интегралом 1-го рода ПИ-1 от ф-ции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается . Таким образом: .

Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, кот. непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а ф-ция f(x,y,z) непрерывна на этой пов-ти, то ПИ существует.

Св-ва ПИ-1:1. .

2. .

3.если пов-ть S разбить на части и такие, что , а пересечение и состояит лишь из границы, их разделяющей, то .

4.если на поверхности S выполнено нер-во , то .

5. , S – площадь поверхности S.

6. .

7.если f(x,y,z) непрерывна на поверхности S, то на этой пов-ти сущ-ет точка такая, что: . (теорема о среднем значении).

Вычисление ПИ-1:

Ф-ла выражающая инт-л по пов-ти S через 2-ной инт-л по проекции S на плоскость Oxy: .

Если пов-ть S задана ур. вида , то аналогично получим: и

. Где - поекции пов-ти S на корд. плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Поверхностный интеграл 2-го рода.

Пусть задана двусторонняя поверхностьи (таковой явл. плоскость, эллипсоид, любая пов-ть, задаваемая ур.z=f(x,y), где f(x,y), и - ф-ции, непрерывные в нек. обл. D плоскости Oxy и т.д.). После обхода такой пов-ти, не пересекая ее гр., направление нормали к ней не меняется. Пример односторонней пов-ти: лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что т.А совмещается с точкой С, а В – c D. Далее, пусть в точках рассматриваемой 2-сторонней пов-ти S в пространстве Oxyz определена непрерывная ф-ция f(x,y,z). Выбранную сторону пов-ти (в таком случае говорят, что поверхность ориентированна) разбита на части и проектируем их на коорд. плоскости. При этом площ. проекции берем со знаком +, если выбрана верхняя стор. пов-ти, или, что то же самое, если нормаль к выбранной стороне пов-ти составляет с осью Oz острый угол, т.е. ; со знаком -, если выбрана нижняя стор. пов-ти (или ). В этом случае интегр-я сумма: , где - площ. проекции на плоск. Oxy. Ее отличие от инт-ной суммы очевидно.

Если предел инт-ной суммы существует и не зависит от способа разбиения пов-ти S на части и от выбора точек наз-ся ПИ-2 от ф-ции f(x,y,z) по переменным x, y по выбранной стороне поверхности и обозначается: . Итак: . Аналогично определяются ПИ-2 по пер. y,z и z,x: ,

.

Общим видом ПИ-2 служит инт-л: , где P,Q,R – непрерывные ф-ции, определенные в точках 2-стогр. пов. S.

Отметим, что S – замкнутая пов-ть, то ПИ по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .

Св-ва ПИ-2:1.ПИ-2 изме-т знак при перемене стороны пов-ти. 2.постоянный множитель можно выносить за знак ПИ.3.ПИ от суммы ф-ций равен сумме соответствующих инт-ов от слагаемых4.ПИ-2 по всей пов-ти (аддитивное св-во), если и пересекаются лишь по гр., их разделяющей.5.если - цилиндрич. пов-ти с образующими, || соответственно осям Oz,Ox,Oy, то: .

Вычисление ПИ-2: Выберем ту сторону по-ти S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол. Т.к. , то интегр. сумма может быть записана в виде: . Правая часть эт. рав-ва есть инт-ная сумма для ф-ции R(x,y,z(x,y)), непрерывной в обл. D. Переходя к пределу , получаем: , выражащую ПИ-2 по переменным x,y через 2-ной инт-л. Если выбрать сторону, т.е. нижнюю, пов-ти S, то полученный 2-ной инт-л берут со зн. -. Поэтому: , аналогично: ,

. , - проекции пов-ти S на плоскости Oxz и Oyz соотв-но (замкнутые). Знаки перед инт-ом выбираются в зависимости от ориентации пов-ти S: + еслинормаль к пов-ти образует с осью Oy острый угол, - если тупой. Для вычисления общ. ПИ-2 исп-ют эти 3 ф-лы, проектируя пов-ть S на все три корд. плоск-ти:

.

.

Замечание: , ds-эл-т площади пов-ти S; – направляющие косинусы нормали к выбранной стороне пов-ти S. ПИ-1 и ПИ-2 связаны: .