13. Несобственные интегралы 2-го рода.

Есть ф-ция f(x), заданная в конечном промежутке [a,b]. Необходимым условием сущ-ния опред. инт-ла: явл-ся ограниченность ф-ции f(x) на отрезке [a,b]. Пусть ф-ция определена на промеж-ке [a,b) и не ограничена при , т.е. . Точка b при этом – особая для f(x). В этом случае говорят, что f(x) имеет особенность в точке x=b. Будем считать, что для любого ф-ция f(x) интегрируема на отрезке [a,b- ], т.е. сущ-ет инт-л , если сущ-ет конечный предел: , то он наз-ся НСИ2 на промеж. [a,b) и обозначается . Аналогично, если ф-ция f(x) имеет особенность в точке x=a, то: . Если особой точкой явтл-ся точка c, a<c<b, то: . НСИ2 сходящийся, если существует конечный предел. В противном случае наз-ся расходящимся. Геометрически сходимость НСИ2 означает, что фигура, ограниченная кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b, беск. вытянутая в направлении оси Y при x , или при , или при , имеет беск. площадь S.

14. Понятие функции нескольких переменных. Предел в точке, непрерывность.

Если каждой паре чисел x,y (взятых в опред. порядке) отвечает вполне определенное значение переменной z, то: z=f(x,y) – ф-ция 2-х переменных. Множество пар значений при кот. аналитич. выражение имеет смысл, наз-ся областью опред. ф-ции z.

Если эти построения вып-ть для кажд. точки (x,y) из обл. опред., то точки P будут лежать на нек. пов-ти, кот. и явл-ся графиком ф-ции z=f(x,y). Если точки границы области принадлежат самой области, то она наз-ся замкнутой, если же точки границы самой области не принадлежит, то область наз-ся открытой. Область наз-ся ограниченнойЮ если сущ-ет такое полож. число а, что расстояние люб. точки обл. до начала координат не превосходит этого числа.

u=f(x,y,z) – график ф-ции 3-х и > числа переменных построить нельзя.

Линии и поверхности уровня: z=f(x,y). Линией уровня этой ф-ции наз-ся линия с уровнем: f(x,y)=c, z=c,c=const.

u=f(x,y,z) поверхности ур-ня этой ф-ции это пов-ти с ур-ем: f(x,y,z)=C, u=C=const. Пример: – семейство окружностей с центром в н.коорд. с радиусом . : 1. C>0: – однополостный гиперболоид. 2. C<0- 2-полостный гиперболоид. 3. –семейство конусов.

Предел ф-ции в точке: пусть ф-ция z=f(x,y) определена в нек. проколотой окрестности точки . Число А наз-ся пределом ф-ции f в точке , если для любого можно указать , такое что, для всех точек M=(x,y) точки выполняется неравенство . Если число А – предел ф-ции f(x,y) в точке , то этот факт будем записывать в виде .

Повторный предел: определение предела ф-ции в точке ( ) предполагает, что х стремится к независимо от стремления y к , необходимо лишь, чтобы точка принадлежала области определения D(f) ф-ции z. Если зафиксировать пер-ную y, то ф-ция f(x,y) становится ф-цией одной переменной х, где . Можно поставить вопрос о существовании предела , кот. является ф-цией от y. Предельный переход означает, что т.М по прямой y=const стремится к т. . Затем можно поставить вопрос о сущ-нии предела , кот. наз-ся повторным пределом. Предельный переход означает, что т. по прямой x= . Аналогично вводится повторный предел: , где . Предельный переход означает, что вначале точка М стремится к точке по прямой x=const, а затем т. стремится к по прямой . Итак повторные пределы отражают факт стремления переменной точки М=(x,y) к точке по сторонам прямоугольника , параллельным координатным осям.