- •1). Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •2).Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределённого интеграла.
- •6). Интегралы вида: , .
- •7). Интегралы вида: .
- •10). Понятие определённого интеграла, основные свойства определённого интеграла, его вычисление.
- •11.Вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг с помощью определённого интеграла.
- •11’.Интегрирование по частям и замена переменной под знаком определённого интеграла.
- •12. Несобственные интегралы 1-го рода.
- •13. Несобственные интегралы 2-го рода.
- •14. Понятие функции нескольких переменных. Предел в точке, непрерывность.
- •15. Частные производные функции двух аргументов, их геометрический смысл.
- •16. Полный дифференциал функции двух и трёх переменных.
- •17. Производные сложной функции нескольких аргументов.
- •19. Дифференцирование неявных функций.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •21. Локальный экстремум функции двух аргументов.
- •22. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •23. Наименьшее и наибольшее значения функции двух аргументов в замкнутой области.
- •24. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, основные свойства.
- •25. Вычисление двойного интеграла в дск.
- •26. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •27. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойного интеграла.
- •28. Тройной интеграл. Определение, основные свойства. Его вычисление в декартовых координатах.
- •29. Цилиндрические координаты. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •30. Сферические координаты. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •31. Криволинейный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление.
- •32. Криволинейный интеграл 2-го рода, его определение, свойства и вычисление.
- •33. Криволинейный интеграл 2-го рода как работа переменной силы на криволинейном пути.
- •34. Вычисление площади плоской фигуры с помощью кри-2.
- •35. Формула Грина.
- •36. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Нахождение функции по её полному дифференциалу.
- •37. Поверхностный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл 2-го рода.
- •38. Вычисление массы поверхности.
- •39. Скалярное поле, производная по направлению.
- •40. Градиент.
- •41. Векторное поле. Дивергенция.
- •42. Поток векторного поля.
- •43. Формула Остроградского.
- •44. Формула Стокса.
- •45. Оператор Гамильтона.
- •46. Оператор Лапласа.
- •47. Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •48. Соленоидальное векторное поле.
- •49. Гармоническое векторное поле.
42. Поток векторного поля.
Пусть вект. поле образовано вектором . Представим, что нек. пов-ть S нах-ся в потоке и пропускает жикость. Подсчитаем кол-во жидк., кот. протекает через пов-ть S.
Выберем опред сторону пов-ти S. пусть - единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне пов-ти S. Разобьем пов-ть на эл-ные площ-ки . Выберем в кажд. площ-ке т. и вычислим зн-ния вектора скор. в кажд. точке. Будем приближенно считать кажд. площ-ку плоской, а пост. по модулю и одинаково направленным в кажд. т-ке площ-ки. Тогда за ед. вр. через протекает кол-во жидк., , где - площ. i-ой площ-ки, - высота i-ого цилиндра с образующей . Но явл-ся проекцией на нормаль : = , - единичный вектор нормали к пов-ти в т. . След-но, общее кол-во жидк., протекающее через всю пов-ть S за ед. вр., найдем вычислив сумму .
Независимо от физ. смысла поля полученный инт-л наз-ют потоком вект. поля.
Потоком вект. поля через пов-ть S – инт-л по пов-ти от скал. произв. вектора поля на ед. вектор нормали к поверхности, т.е.: .
Т.к. , где - проекции вектора на соответств. коорд. оси, то поток вектора: . Поток К вектора есть скал. вел-на. Вел-на К = объему жидк., кот. протекает через пов-ть S за ед. вр. В этом состоит физ .смысл потока.
Случай, когда пов-ть замкн. и огран-ет нек. объем V. Тогда поток вектора запис-ся: . В эт. случае за напр. вектора обычно берут напр. внешней нормали и говорят о потоке изнутри пов-ти S. Если вект. поле есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкн. пов-ть дает разность между кол-ом жидк-ти, вытек-щей из обл. V и втекающей в нее в ед. вр. (в точках пов-ти S, где вект. линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вект-ом острый угол и ; в точках, где вект. линии входят в объем, ).
При этом если K>0, то из обл-ти V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это озн-ет, что внутри обл. имеются доп. ист-ки. Если К<0, то внутри обл. V есть стоки, поглощающие избыток жидкости. Если К=0, то из обл. V вытекает столько же жидк., сколько в нее втекает в ед. вр.; внутри обл. либо нет ни ист-ов, ни ст-ов, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.
Пример: найти поток вект-ра через верхнюю сторону треугольника, полученного при перес-нии плоскости 3x+6y-2z-6=0 с коорд. плоскостями.Решение: . Нормаль к верхней стороне треуг. образует с осью Ox тупой угол, Oy – тупой, Oz – острый. , на верхней стороне , поэтому надо выбрать знак -; получим: . Итак, . Находим их: . . . .
43. Формула Остроградского.
Используя понятия потока и дивергенции вект. поля, запишем ф-лу Остроградского-Гаусса: . Рассматривая обл. V, ограниченную замкн. пов-тью S, в вект. поле , можно утв-ть, что левая часть ф-лы Остроградского есть поток вектора через пов-ть S; подынтегр. ф-ция правой чати ф-лы есть дивергенция вектора . След-но ф-ла Остроградского может выглядеть так: (встречается чаще всего). Ф-ла Остроградского-Гаусса означает, что поток вект. поля через замкн. пов-ть S (в напр. внешней нормали, т.е. изнутри) равен 3-ому инт-лу от див. этого поля по объему V, ограниченному данной пов-тью. Используя ф-лу , можно дать другое определение дивергенции вект. поля в точке М.
По теореме о среднем для 3-ного инт-ла имеем: , – нек. (средняя) точка области V. Тогда ф-лу можно переписать: . Тогда: . Пусть пов-ть S стягивается в точку. Тогда и мы получим выр-ние для в точке М: .