11.Вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг с помощью определённого интеграла.

1.выч-ние S плоских фигур в ДСК: , если фигура S, кот. надо вычислить, не явл. криволин. тр., то ее следует разбить на алг. сумму криволин. трапеций.

2. ур. «кривой» задано параметрически, то S: , t[a,b], . .

3.длина дуги кривой в ДСК:

.

.

.

4.длина дуги кривой заданной параметрически:

. ,

. Если рассматривается дуга в пространстве, то её длина подсчитывается по аналогичной ф-ле.

5.вычисление S криволин. сектора в ПСК: .

.

.

6.длина дуги кривой в ПСК: если кривая AB задана в ПСК , где - непрерывно дифференцируемая на [ ] ф-ция. Т.к. то ур. этой кривой можно записать в пар. виде: . Тогда:

. Тогда и получаем ф-лу длины дуги кривой в ПСК: .

7.Объем тела по известным площадям его параллельных сечений: пусть известна площадь сечения тела плоскостями, перпендик. к оси Х. Пусть S(x) – непрерывна на [a,b]. Проведем плоскочти , кот. разбивают тело на слои. На каждом частичном отрезке [ ] выберем произв. точку и построим цилиндрич. тело с образующей, параллельной оси Х, и направляющей, представляющей собой контур сечения тела Т плоскостью . Площадь этого сечения S( ). Тогда объем: для ф-ции S(x) на отрезке [a,b]. Тогда в пределе при получим точное значение искомого объема V тела Т в виде ОИ: .

8.Объем тела вращения: тело Т получено вращением вокруг оси Х криволин. тр., ограниченной кривой y=f(x)=0, осью Х и отрезками прямых х=а и . Если тело пересечь плоскостью, перпендик. к оси Х в точке х, то в сечении получится круг радиусом , площадь кот. . Т.о., объем такого тела вращ-ся вокруг оси Х: . Параметрическое задание: . Если тело вращается вокруг оси Y, то: .

11’.Интегрирование по частям и замена переменной под знаком определённого интеграла.

Т.к. при интегрировании по частям переменная интегрирования не изменяется, то пределы интегрирования остаются теми же самыми. Т.к. замена переменной под знаком НО требует возврата к прежней переменной, то в случае замены переменной под знаком ОИ можно сделать 2 вывода: 1. отдельно взять НИ и возвратиться к старой переменной. 2.чаще делают так: если изменить переменную интегрирования, то соответствующим образом изменяют и пределы интегрирования, т.е. ставят их для новой переменной.

12. Несобственные интегралы 1-го рода.

Имеем ф-цию f(x) неопределенную на [a,+ ]. Рассмотрим интеграл от этой ф-ции: . Если этот предел сущ-ет и конечен, то о самом инт-ле говорят, что он сущ-ет или сходится и указанный предел есть величина интеграла. Если предел не сущ-ет или = , то говорят, что интеграл не существует или расходится.

В нек. случаях бывает важным уст-ть только факт сходимости или расходимости инт-ла. Приведем без док-ва нек. теоремы, позволяющие дать ответ на этот вопрос:

теорема 1: если для всех х, где имеет место соотношение и сходится, то сходится и инт-л: . Причем .

теорема 2: если при тех же условиях инт-л расходится, то расходится .

теорема 3: пусть f(x) на [a,+ ] меняет знак и сходится, то сходится и . В этом случае этот инт-л наз. абсолютно сходящимся.

Совершенно аналогично изложенному вводятся и такие НСО: - если хотя бы один расходится, то и исх. расходится. Для введенных инт-ов справедливо: если , то сходится, причем . Пример: , –сходится, тогда исходный инт-л сходится. Отметим, что инт-л - сходится при p>1, расходится при p .