23. Наименьшее и наибольшее значения функции двух аргументов в замкнутой области.

Есть ф-ция z=f(x,y), z-непрерывная в D и имеет непрер. частные производные. Чтобы найти ним. и наиб. значения ф-ции в области D, надо поступить так:

1). найти стацион. т-ки ф-ции и выбрать из них те, кот. попадают в область D (включая и границы).

2). не выясняя вопроса о том, есть ли в стаци. точках экстремум, найдем значения ф-ции в этих точках.

3). исследуем наиб. и наим. зн-ние данную ф-цию на границе области.

4). из всех найденных значений выбрать ним. и наиб. значения.

Пример: , в замкн. обл., огран. линиями: .

1). .

. .

.

2). OA: y=0 ; .

3). OB: x=0 , OB[0,4]; .

подставим в исх. z: . . .

4). .

24. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, основные свойства.

1). , . 2). . 3). . 4).

.

Если f(x,y) в D: f( ) - произведение представляет собой объем цилиндрич. тела с основанием , образующие кот. || оси OZ и кот. сверху ограничена частью пов-ти = z(x,y). Если эти построения выполнить для кажд. площадки , то получим объем ступеньчатого тела, кот. приближенно равен объему тела снизу ограниченного обл. D, сверху поверхностью z=f(x,y), а с боков – цилиндрич. пов-тью образующая кот. || оси OZ, а направляющей служит граница области D.

Геометрич. чмысл: след-но уже ясно, что 2-ной интеграл дает объем тела, ограниченного областью D, поверхностью z=f(x,y), и поверхность с образующими || оси OZ.

Теорема: если f=z(x,y) непрерывна в замкнутой огран. обл. D, то существует и не зависит ни от сп. разбиения обл. D на части , ни от выбора точек в каждой части, этот предел и явл-ся 2-ным инт-ом от ф-ции f(x,y) на dxdy по области D.

Св-ва 2-го инт-ла:

1). .

2). .

3). .

25. Вычисление двойного интеграла в дск.

Вычисление двойного инт-ла сводится к последоват. вычислению 2-х опред. инт-ов. Пусть требуется вычислить инт-л , где ф-ция непрерывна в обл. D.

Если прямые || оси OX пересек. гр. обл. D не более, чем в 2-х точках, то эта обл. наз-ся правильной в направлении оси OX. Аналогично опр-ся область правильная в напр. оси OY. Обл. правильная в напр. и той и др. оси наз-ся правильной. . Двойной инт-л=2-кратному инт-лу, в кот. пределы интегрирования расставлены в соответствии с заданием области D. Если обл. D не явл. правильной (в напрвлении хотя бы 1-ой оси), то ее следует разбить на неск. областей, из кот. явл. правильной.

26. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

Прежде всего рассмотрим вопрос о замене пер. в 2-ом инт-ле. – в ДСК. Если x=x(u,v) и y=y(u,v), то они определяют зависимость ДСК от криволин. корд. u,v. Предполагаем, что эти ф-ции имеют непрерывные частные производные по своим арг.

Якобиан: , тогда . Будем рассматривать 2-ной инт-л в ПСК: , поэтому найдем для эт. случая Якобиан: . Имеем 2-ой инт-л:

Порядок инт-ния в эт. инт-ле выбирается произвольно. Замечание: к ПСК следует переходить, когда ф-ция (под-ная) имеет более простой вид, чем в ДСК.