44. Формула Стокса.

Пусть - граница этой пов-ти (нарисуй!!!). Пусть всякая прямая || оси Oz пересекает пов-ть в одной точке. Пусть в кажд. точке пов-ти определен единичный вектор нормали: . В кажд. точке пов-ти определен вектор . При указанных условиях имеет место так называемая ф-ла Стокса: . . Этот инт-л наз-ся циркуляцией вект-ра по этому контуру. Итак циркуляция вект. по границе λ пространственной обл. σ равна потоку вихря векторя по самой пов-ти σ, причем направление обхода контура должно быть согласовано с ориентацией пов-ти. -еще один способ выч-ния циркуляции вектора по нек. контуру.

45. Оператор Гамильтона.

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора наз-ся векторными операциями 1-го порядка (в них уч. 1-ые произв). Их удобно записывать с пом. оператора Гамельтона: . Применяя опретор Гамильтона, получим дифф. операции 1-го порядка:

1. .

2. .

3. .

46. Оператор Лапласа.

Оператор Лпласа – дифф. оператор, действующий в лин. простр-ве гладких ф-ций и обозначаемый символом . Ф-ции F он ставит в соответствие ф-цию: . Оператор Лапласа послед-ному взятию градиента и дивергенции , т.о. значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

47. Потенциальное векторное поле и его свойства.

Векторное поле явл-ся потенциальным, если во всех точках поля ротор =0, т.е. .Св-ва потенц.поля:

1.циркуляция потенц. поля по люб. замкн. контуру в этом поле равна 0.

2.в потенц. поле КРИ вдоль люб. кривой L с началом в т. и концом в т. и не зависит от формы кривой.

3.потенц. поле явл-ся полем градиента нек. скал. ф-ции U(x,y,z), т.е. если , то сущ-ет ф-ция U(x,y,z) такая, что .

Замечание: из равенства следует обратное утверждение – поле определяется заданием одной скал. ф-ции U=U(x,y,z) – его потенциала. Потенциал вект. поля может быть найден по ф-ле , где - коорд. фиксир. точки, (x,y,z) – координаты произв. точки. Потенциал опр-ся с точностью до произв. пост. слагаемого.

Замечание: определение потенц. поля может быть дано иначе – вект. поле наз-ся потенциальным, если оно явл-ся градиентом нек. скал. поля, т.е. .

48. Соленоидальное векторное поле.

Вект. поле явл. соленоидальным, если во всех точках его див. поля равна 0.

Свойства соленоидального поля:

1.в соленоидальным поле поток вектора через любую замкнутую пов-ть равен 0. Это св-во вытекает из ф-лы . Т.о., соленоидальное поле не имеет источников и стоков.

2.соленоидальное поле явл-ся полем ротора нек. вект. поля, т.е. если , то сущ-ет такое поле , что . Вектор наз-ся векторным потенциалом поля . Поле ротора векторного поля есть соленоидальное.

3.в соленоидальном поле поток вектора через поперченное сечение векторной трубки сохраняет пост. зн-ние.