29. Цилиндрические координаты. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Для вычисления 3-го инт-ла часто исп-ют так называемые цилиндрич. корд. Положение т. M(x,y,z) в пространсве Oxyz можно определить заданием 3-х чисел r, , где r – длина радиуса-вектора проекции т.М на плоскость Oxy, - угол, образованный этим радиусом-вектором с с осью Ox, z – аппликата т.М. Эти 3 числа ( ) наз-ся цилиндрическими координатами т.М.

Цилиндрич. координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями: , . Возьмем цилиндрич. координаты r, и вычислим Якобиан преобразования: . Ф-ла замены переменных принимает вид: . Т.о., вычисление 3-го инт-ла приводится к интегрированию по r, по , по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

Замечание:к цилиндрич. корд. следует переходить, если обл. интегр-ния образована цилиндрич. пов-тью.

30. Сферические координаты. Тройной интеграл в сферических координатах.

Сферич. координатами M(x,y,z) пространства Oxyz наз-ся тройка чисел , где - длина радиуса-вектора точки M, - угол, образованный проекцией радиус-вектор OM на плоскость Oxy и осью Ox, - угол отклонения радиуса-вектора OM от оси Oz. Сферич. координаты связаны с декартовыми координатами x, y, z: ( ). В нек. случаях вычисление 3-го инт-ла удобно производить, перейдя к сферич. координатам. Для этого нужно воспользоваться ф-лой замены переменных в 3-ом инт-ле. Т.к. Якобиан: . То:

.

Замечание: перходить к сферич. коорд., когда обл. интегрирования V есть шар (ур-ние его границы в сферич. коорд. имеет вид ) или его часть, а также если подынтегральная ф-ция имеет вид .

31. Криволинейный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление.

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая АВ (или L) длины . Рассмотрим непрерывную ф-цию , определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками на n произвольных дуг с длинами . Выберем на каждой дуге произв. т-ку ( ) и составим сумму: . Ее наз-ют интегральной суммой для ф-ции f(x,y) по кривой AB. Пусть – наиб. из длин дуг деления. Если при (тогда n ) сущ-ет конечный предел интегр-ых сумм, то его наз-ют криволинейным интегралом 1-го рода (КРИ-1): .

Теорема: если ф-ция f(x,y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (x,y) сущ-ет касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то КРИ-1 сущ-ет и его вел-на не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Св-ва КРИ-1:1. , т.е. КРИ-1 не зависит от напр. пути интегрирования.

2. , c=const.

3. .

4. , если путь инт-ния L разбит на части и такие, что и и имеют единственную общую точку.

5.если для точек кривой L выполнено неравенство , то .

6. , -длина кривой АВ.

7.если ф-ция f(x,y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка ( ) такая, что (теорема о среднем).

Вычисление КРИ-1:1.параметрич. представление кривой инт-ния:

Если кривая АВ задана парам. ур-ми , где -непрерывно дифф-мые ф-ции параметра t, причем тке.А соответствует , точке В – t= , то . Аналогично для ф-ции .

2.Явное представление кривой инт-ния: если кривая АВ задана , где - непрерывно дифф-мая ф-ция, то . .

3.Полярное представление кривой инт-ния: если плоская кривая L задана ур. в ПСК, то и . Во всех 3-х случаях нижний предел всегда меньше верхнего.

Масса кривой: масса мат. кривой АВ опр-ся ф-ой , где - плотность кривой в т.М. Разобьем АВ на n эл-х дуг . Пусть - произв. точка дуги . Считая приближенно участок пути однородным, т.е. считая, что плотность в кажд. точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы дуги : . Суммируя, находим приближенное значение массы m: За массу кривой АВ примем преде суммы при условии, что : , . (предел сущ-ет, если криая АВ гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке АВ ф-цией).

.